导数含参数取值范围分类讨论题型总结与方法归纳.doc

导数习题题型十七：含参数导数问题的分类讨论问题 含参数导数问题的分类讨论问题 1．求导后，导函数的解析式含有参数，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）, 导函数为零的实根中有参数也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。 ★已知函数（a0）,求函数的单调区间 ★★例1 已知函数（a0）求函数的单调区间 ★★★例3已知函数，其中。 （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值。 解：（Ⅰ）当时，曲线在点处的切线方程为。 （Ⅱ）由于，所以 ,由，得。这两个实根都在定 义域R内，但不知它们之间 的大小。因此，需对参数的取值分和两种情况进行讨论。 (1)当时，则。易得在区间，内为减函数， 在区间为增函数。故函数在处取得极小值； 函数在处取得极大值。 当时，则。易得在区间，内为增函数，在区间 为减函数。故函数在处取得极小值；函数 在处取得极大值。 以上三点即为含参数导数问题的三个基本讨论点，在求解有关含参数的导数问题时，可按上述三点的顺序对参数进行讨论。因此，对含参数的导数问题的讨论，还是有一定的规律可循的。当然，在具体解题中，可能要讨论其中的两点或三点，这时的讨论就更复杂一些了，需要灵活把握。 ★★★(区间确定零点不确定的典例) 例4 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元（3≤a≤5）的管理费，预计当每件产品的售价为x元（9≤x≤11）时，一年的销售量为（12-x）2万件. （1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式； （2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q（a）. 解 （1）分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为：L=(x-3-a)(12-x)2,x∈［9,11］. (2)L′(x)=(12-x)2-2(x-3-a)(12-x) =(12-x)(18+2a-3x). 令L′=0得x=6+a或x=12（不合题意，舍去）. ∵3≤a≤5,∴8≤6+a≤. 在x=6+a两侧L′的值由正变负. 所以①当8≤6+a＜9即3≤a＜时， Lmax=L(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a). ②当9≤6+a≤即≤a≤5时， Lmax=L(6+a)=(6+a-3-a)［12-(6+a)］2=4(3-a)3.所以Q(a)= 答 若3≤a＜，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q（a）=9(6-a)（万元）；若≤a≤5，则当每件售价为(6+a)元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)=4（3-a）3(万元). ★★★★（导函数零点确定，但区间端点不确定引起讨论的典例） 例2、已知 (Ⅰ).求函数的单调区间; (Ⅱ).求函数在上的最小值; (Ⅲ)对一切的,恒成立,求实数的取值范围. 解：(Ⅰ) (Ⅱ)(ⅰ)0tt+2，t无解； (ⅱ)0tt+2，即0t时，； (ⅲ)，即时，，……9分 (Ⅲ)由题意:在上恒成立,即 可得（分离参数）,设, 则……12分 令,得(舍) 当时,;当时, 当时,取得最大值, =-2……13分.. 二．求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，从而引起讨论。(用导数解决函数问题若求导后研究函数的导数问题时能转化为研究二次函数问题时，二次项的系数含参数按系数大于零、等于零、小于零分类；再按在二次项的系数不等于零时对判别式按△＞0、△=0、△＜0；在△＞0时，求导函数的零点再根据零点是否在在定义域内进行套论，若零点含参数在对零点之间的大小进行讨论。) ★1 已知函数 ，求函数的单调区间 ★★例2 已知函数（a0）,求函数的单调区间 ★★★例3 已知是实数，函数 （Ⅰ）求函数的单调区间； （Ⅱ）设为在区间上的最小值。 （）写出的表达式； （）求的取值范围，使得。 解：（Ⅰ）函数的定义域为，，由得。考虑是否落在导函数的定义域内，需对参数的取值分及两种情况进行讨论。 当时，则在上恒成立，所以的单调递增区间为。 当时，由，得；由，得。 因此，当时，的单调递减区间为，的单调递增区间为。 （Ⅱ）（）由第（Ⅰ）问的结论可知： 当时，在上单调递增，从而在上单调递增，所以。 当时，在上单调递减，在上单调递增，所以： 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以。 当，即时，在上单调递减，所