导数解题技巧.docx

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导数解题技巧

导数题的解题技巧【命题趋向】导数命题趋势:导数应用:导数-函数单调性-函数极值-函数最值-导数的实际应用.【考点透视】1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等);掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;理解导函数的概念.2.熟记基本导数公式;掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数.3.理解可导函数的单调性与其导数的关系;了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号);会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值.【例题解析】考点1导数的概念对概念的要求:了解导数概念的实际背景,掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念.例1.(2006年辽宁卷)与方程的曲线关于对称的曲线的方程为A.B. C. D. [考查目的]本题考查了方程和函数的关系以及反函数的求解.同时还考查了转化能力[解答过程],,即:,所以.故选A.例2. ( 2006年湖南卷)设函数, 集合, P=,若MP,则实数a的取值范围是 ( )A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞)[考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力.[解答过程]由综上可得MP时,考点2 曲线的切线(1)关于曲线在某一点的切线求曲线y=f(x)在某一点P(x,y)的切线,即求出函数y=f(x)在P点的导数就是曲线在该点的切线的斜率.(2)关于两曲线的公切线若一直线同时与两曲线相切,则称该直线为两曲线的公切线.典型例题例3.(2004年重庆卷)已知曲线y=x3+,则过点P(2,4)的切线方程是_____________.思路启迪:求导来求得切线斜率.解答过程:y′=x2,当x=2时,y′=4.∴切线的斜率为4.∴切线的方程为y-4=4(x-2),即y=4x-4.答案:4x-y-4=0.例4.(2006年安徽卷)若曲线的一条切线与直线垂直,则的方程为()A. B.C. D.[考查目的]本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力.[解答过程]与直线垂直的直线为,即在某一点的导数为4,而,所以在(1,1)处导数为4,此点的切线为.故选A.例5. ( 2006年重庆卷)过坐标原点且与x2+y2 -4x+2y+=0相切的直线的方程为 ( )A.y=-3x或y=x B. y=-3x或y=-x C.y=-3x或y=-x D. y=3x或y=x[考查目的]本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力.[解答过程]解法1:设切线的方程为又故选A.解法2:由解法1知切点坐标为由故选A.例6.已知两抛物线, 取何值时,有且只有一条公切线,求出此时公切线的方程.思路启迪:先对求导数.解答过程:函数的导数为,曲线在点P()处的切线方程为,即 ①曲线在点Q的切线方程是即 ②若直线是过点P点和Q点的公切线,则①式和②式都是的方程,故得,消去得方程,若△=,即时,解得,此时点P、Q重合.∴当时,和有且只有一条公切线,由①式得公切线方程为 .考点3 导数的应用中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数,导数是研究函数性质的重要而有力的工具,特别是对于函数的单调性,以“导数”为工具,能对其进行全面的分析,为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法,进而与不等式的证明,讨论方程解的情况等问题结合起来,极大地丰富了中学数学思想方法.复习时,应高度重视以下问题:1.. 求函数的解析式; 2. 求函数的值域; 3.解决单调性问题; 4.求函数的极值(最值);5.构造函数证明不等式.典型例题例7.(2006年天津卷)函数的定义域为开区间,导函数在内的图象如图所示,则函数在开区间内有极小值点( )A.1个B.2个C.3个D.4个[考查目的]本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力.[解答过程]由图象可见,在区间内的图象上有一个极小值点.故选A.例8. 设为三次函数,且图象关于原点对称,当时,的极小值为,求出函数的解析式.思路启迪:先设,再利用图象关于原点对称确定系数.解答过程:设,因为其图象关于原点对称,即,得由,依题意,,,解之,得.故所求函数的解析式为.例9.函数的值域是_____________.思路启迪:求函数的值域,是中学数学中的难点,一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解,也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。此例的形式结构较为复杂,采用导数法求解较为容易。解答过程:由得,,即函数的定义域为.,又,当时,,函数在上是增函数,而,的值域是.例10.(2006年天津卷)已知函数,其中为参数,且.(1)当时,

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