寿险精算 第二讲 生存分布与生命表.ppt

例子 例子1.4.1 设 (x) 在 [x,x+1] 上服从均匀分布，试证： 例子1.4.2 试证：在常值死力假设的条件下，有 补充例1 已知 计算下面各值： （1） （2）20岁的人在50~55岁死亡的概率。 （3）该人群平均寿命。 补充例1解答： 补充例2 已知 分别在三种分数年龄假定下，计算下面各值： 补充例2答案 §1.4.4 生命表实例 表1.4.3 中国人寿保险业经验生命表(1990~1993) (混合表) 附录I (C ) 例子 例子1.4.4 根据表1.4.3 ,并在死亡均匀分布条件下估计： 解： §1.4.5 选择-终极生命表 需要构造选择生命表的原因：刚刚接受体检的新成员的健康状况会优于很早以前接受体检的老成员。 需要构造终极生命表的原因：选择效力会随时间而逐渐消失 选择-终极生命表的使用 选择-终极表实例 表1.4.4 1967年~ 1970年 英国选择—终极生命表摘要 例子1.4.5 试用表1.4.4 中的数字估计下列各值： 补充例子1 已知： 为未来剩余寿命随机变量 计算 Var[T(10] 的值为 ( )。 (A) 65 (B) 93 (C ) 133 (D) 178 (E ) 333 补充例子1解答 解:因为 所以 即 X 服从均匀分布，所以 故 即 T（10） 服从[0，10]上的均匀分布，所以 1.4.6 随机变量T(x) 与 K(x)的方差公式 根据式(1.4.7) 与式 (1.3.2) ，我们有 对于随机变量K(x)的方差，有公式 例子1.4.6 设随机变量T的概率密度函数为 计算： 与 Var(T)。 《寿险精算数学》 --01生存分布与生命表 §1.1 死亡年龄的概率 1.1.1 连续型死亡年龄的有关概率 对于一个刚出生的婴儿来说，其死亡年龄X是一个连续型随机变量，用F(x) 表示这个随机变量X的分布函数，则 (1.1.1) 这里，通常假设 F(0) =0 。 假设随机变量X的分布函数F(x) 是可导的，且用f(x) 表示随机变量X的密度函数，则 这时，其均值与方差分别是： §1.1.2 离散型死亡年龄的有关概率 若将新生婴儿的死亡年龄X取整数值（即取周岁数）并用字母K表示， 则K=[X]，那么，离散型随机变量K的概率分布律可表述为： 其中， 分布函数为： 均值为： 方差为： 死亡年龄(K) 0 1 2 3 … 概 率 (q) q0 q1 q2 q3 … §1.2 生存分布 1.2.1 生存函数 定义 意义：新生儿能活到 x 岁的概率。 与分布函数的关系： 与密度函数的关系： 新生儿将在x岁至z岁之间死亡的概率 s(x)的性质： ① ② s(x) 是单调递减函数； ③ s(x) 是一个连续函数 极限年龄：存在一个正数ω，当xω时，s(x)0; 当x≥ω时，s(x)=0。这时称正数ω为极限年龄。 例如，某一群体人的生存服从生存在函数 ，其极限年龄是ω=96岁 条件概率 新生婴儿在x岁时仍活着的条件下,于年龄x岁与z(xz)岁之间死亡的条件概率是: 新生婴儿在x岁时仍活着的条件下,于年龄y岁与z(yz)岁之间死亡的条件概率是: 新生儿在x岁时的未来寿命: 用符号(x)表示年龄为x岁的人,X是新生儿的死亡年龄,则X-x称为新生儿在x岁时的未来寿命(余命),并用符号T(x)表示,即 T(x) =X-x 1.2.2 连续型未来寿命的生存分布 剩余寿命与分布函数 定义：已经活到x岁的人（简记(x)），还能继续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。 分布函数 ： 剩余寿命的生存函数 ： 特别： ：x岁的人至少能活到x+1岁的概率 ：x岁的人将在1年内去世的概率