山东高考之导数汇总.doc

导数及其应用 2006年 18．（本小题满分12分）设函数，其中，求的单调区间的定义域为，且 （1）当时，函数在上单调递减， （2）当时，由解得 、随的变化情况如下表 — 0 + 极小值 从上表可知 当时，函数在上单调递减. 当时，函数在上单调递增. 综上所述： 当时，函数在上单调递减. 当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增. 2007年 (22)(本小题满分14分) 设函数f(x)=x2+b ln(x+1),其中b≠0. (Ⅰ)当b时，判断函数f(x)在定义域上的单调性； （Ⅱ）求函数f(x)的极值点； （Ⅲ）证明对任意的正整数n,不等式ln()都成立. 22【答案】(I) 函数的定义域为. ， 令，则在上递增，在上递减， . 当时，， 在上恒成立. 即当时,函数在定义域上单调递增。 （II）分以下几种情形讨论： （1）由（I）知当时函数无极值点. （2）当时，， 时， 时， 时，函数在上无极值点。 （3）当时，解得两个不同解，. 当时，，， 此时在上有唯一的极小值点. 当时， 在都大于0 ，在上小于0 ， 此时有一个极大值点和一个极小值点. 综上可知，时，在上有唯一的极小值点； 时，有一个极大值点和一个极小值点； 时，函数在上无极值点。 （III） 当时， 令则 在上恒正， 在上单调递增，当时，恒有. 即当时，有， 对任意正整数，取得 2008年 21．（本小题满分12分） 已知函数，其中，为常数． （Ⅰ）当时，求函数的极值； （Ⅱ）当时，证明：对任意的正整数，当时，有． 21．（Ⅰ）解：由已知得函数的定义域为， 当时，， 所以． 当时，由得，， 此时． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． （2）当时，恒成立，所以无极值． 综上所述，时， 当时，在处取得极小值，极小值为． 当时，无极值． （Ⅱ）证法一：因为，所以． 当为偶数时， 令， 则（）． 所以当时，单调递增， 又， 因此恒成立， 所以成立． 当为奇数时， 要证，由于，所以只需证， 令， 则（）， 所以当时，单调递增，又， 所以当时，恒有，即命题成立． 综上所述，结论成立． 证法二：当时，． 当时，对任意的正整数，恒有， 故只需证明． 令，， 则， 当时，，故在上单调递增， 因此当时，，即成立． 故当时，有． 即． 2009年 21）（本小题满分12分） 两县城A和B相距20Km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为对城A与对城B的影响度之和。记C点到城A的距离xKm，建在C处的垃圾处理厂对城B的影响度为Y，统计调查表明；垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城B的平方成反比，比例系数为4；城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为K，当垃圾处理厂建在弧的中点时，对城A和城B）总影响度为0.065 （Ⅰ）将Y表示成X的函数；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （Ⅱ）讨论（Ⅰ）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点城A的距离；若不存在，说明理由。 21. 解法一:（1）如图,由题意知AC⊥BC,, 其中当时，y=0.065,所以k=9 所以y表示成x的函数为 （2）,,令得,所以,即,当时, ,即所以函数为单调减函数,当时, ,即所以函数为单调增函数.所以当时, 即当C点到城A的距离为时, 函数有最小值. 解法二: （1）同上. （2）设, 则,,所以 当且仅当即时取”=”. 下面证明函数在(0,160)上为减函数, 在(160,400)上为增函数. 设0m1m2160,则 , 因为0m1m2160,所以44×240×240 9 m1m29×160×160所以, 所以 即 函数在(0,160)上为减函数. 同理,函数在(160,400)上为增函数, 设160m1m2400,则 因为1600m1m2400,所以44×240×240, 9 m1m29×160×160 所以, 所以即函数在(160,400)上为增函数. 所以当m=160即时取”=”,函数y有最小值, 所以弧上存在一点，当时使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小. 2010年 22)(本小题满分14分) 已知函数. (Ⅰ)当时，讨论的单调性； （Ⅱ）设当时，若对任意，存在，使 ，求实数取值范围. 【解析】(Ⅰ)原函数的定义域为（0，+，因为 =，所以 当时，，令得，所以 此时函数在（1，+上是增函数；在（0，1）上是减函数； 当时，，所以 此时函数在（0，+是减函数； 当时，令=得，解得（舍去），此时函数 在（1，+上是增函数；在（0，1）上是减函数； 当时，令=得