巧构几何图形 证明代数问题.doc

巧构几何图形 证明代数问题 ——兼谈构造法 习题 已知a,b,c,d为正数，a^2+b^2=c^2+d^2，ac=bd，求证a=d，b=c. 分析 注意到条件a^2+b^2=c^2+d^2，如果把a，b；c，d分别看成两个直角三角形的直角边，那么a^2+b^2，c^2+d^2分别表示这两个直角三角形的斜边的平方。故可构造如下图形1。 ac=bd，即 BC*AD=AB*CD BC/AB=CD/AD 又B=D=90 ?? Rt⊿ABC 相似于 Rt⊿ADC 但为公共斜边，故 Rt⊿ABC Rt⊿ADC AB=AD,BC=CD,即b=c,a=d. 评注 把正数与线段的长联系起来，给代数等式附以几何意义，从而利用图形的特点巧妙地解决了上述习题。其证法十分简捷，独具风格，耐人寻味！其高明之处就在于选择了恰当的图形！这种思考方法的关键是把数和形结合起来以互相利用！对代数等式可以这样做，对不等式也可以。 应用 【例1】已知a，b是两个不相等的正实数，求证（a+b）/2 [证明] 以a+b为边长作正方形，然后过a,b的连接点作正方形各边的垂线（如图2），于是大正方形的面积为（a+b)^2,四个矩形的面积都是ab,这样得 （a+b）^24ab ab0 a+b2 即（a+b)/2 【例2】已知0θ/2，求证1sinθ+cosθ [证明]作圆使其直径为单位长1，如图3，由于0θ/2,故θ可如图作出。 BC+ACAB sinθ+cosθ1(三角形两边之和大于第三边) 又⊿ABC的面积=(1/2)BC*AC≤(1/2)AB*CO=(1/4)AB^2(三角形面积不大于一边与这边上中线积的一半) 2BC*AC≤AB^2 又BC^2+AC^2≤AB^2 (BC+AC)^2≤2AB^2，BC+AC≤AB,即sinθ+cosθ 【例3】设a,b为小于1的正数，求证 [证明]如图4作边长为1的正方形ABCD,分别在AB,AD上取AE=a,AG=b(a、b1),并过E,G分别作AD,AB的平行线，分别交DC,BC于F，H,设EF,GH的交点为O，则 OA=, OB=, OC=, OD=, OA+OCAC, OB+ODBD. OA+OB+OC+ODAC+BD,即 【例4】设a/b=c/d,且a,b,c,d均为正数，求证(a+b)/(c+d)= [证明] 不妨设a≥c，作直角⊿ABC,使C=90?(如图5)，BC=a，AC=b.在BC上取点D,使BD=c;过D作DEBC交AB于E，故 BC/AC=BD/ED 又a/b=c/d,所以ED=d.在BC直线上取点F,G,使CF=AC,DG=ED,连EG,AF,易知EG//AF,故 BF/BG=BA/BE 即(a+b)/(c+d)= 【例5】设a0，b0，2ca+d. 求证c^2ab且 c-ac+ [证明] 如图6，作半圆O，直径AB=2c,在AB上顺次取 AC=a,CD=b(2ca+b)以AD为直径作半圆，过C作CEAD交圆于E,则两圆相切，且CEc,OCc(OEc) 由相交弦定理知CE^2=ab. c^2ab. 又CO^2+CE^2=OE^2， (a-c)^2+abc^2.即 ｜a-c｜, 亦即 c-ac+. 【例6】在锐角三角形ABC中求证 A+B+CA+B+C [证明]如图7，作⊿ABC三边上的高AE,BF,CD,则A,B,E,F四点共圆。 同圆中所对的圆周角大的弦也大（圆周角为锐角使时）。由于ABFABC,所以AFAE,故 A=AF/ABAE/AB=B, 同理BC,CA. A+B+CA+B+C 【例7】求证 1/2(+)++2++4. [证明]原不等式经整理即为 1/2(-)^2+()^24. 根据此三角函数的特点可设 x= y=/2(椭圆的参数方程)，如图8，A(，/2), B(,/2)为椭圆上两点。 ｜AB｜≤｜CD｜=2(椭圆长轴等于2，长轴是椭圆中最大的弦) . 即()+(). 【例8】当m为何值时，方程 mx-y+5m+3=0 有唯一解。 x^2+y^2-6y=0 解：方程mx-y+5m+3=0表示一条过点（-5,3）且斜率为m的直线，而方程x^2+y^2-6y=0表示一个圆心在（0,3），半径为3的圆。要使原方程组有唯一解，要求这直线与