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一、差分的概念 2、差分的四则运算： 二、差分方程的概念 差分方程的解 代入方程能使方程成为恒等式的函数。 通解 差分方程的解中， 含有独立的任意常数，且任意常数的个数等于差分方程的阶数。 特解 由初始条件确定了任意常数的解。 三、一阶常系数线性差分方程 所以差分方程满足初始条件的特解为 三、二阶常系数线性差分方程 与一阶类似，二阶非齐次方程的通解等于任一特解与相应齐次方程的通解的和. 因此，得到两个特解： 为已知m次多项式，可以证明非齐次方程的特解形式是 * * 例1、某家庭在国庆节期间自己驾车外出旅游，每隔1h通过里程表记录下车辆行驶的里程数 (t=0,1,2,…,6),其数据如下表所示。 t(h) 0 1 2 3 4 5 6 2300 2322 2 354 2403 2452 2481 2513 如果用 表示在第t(t=1,2,…,6)h内车辆行驶的路程，则 t(h) 1 2 3 4 5 6 22 32 49 49 29 32 1、一阶差分的定义 定义 常数的差分为零。 指数函数的差分等于指数函数乘上一个常数。 线性函数的差分等于k 逆命题：差分等于k，则一定为线性函数吗？ 当自变量从n变到n+1时，一阶差分的差分 3、高阶差分的定义 多项式的差分是比其低一次的多项式。 二次多项式的差分为一次的多项式，二次差分为常数。 指数函数的一阶、二阶差分仍为指数函数。 或 1、差分方程： 2、差分方程的阶： 3、线性、非线性差分方程 例如 （1） 故三阶。 （2） （3） 故六阶。 4、差分方程的解： 形如 的方程称为 一阶常系数线性差分方程。 则称为非齐次方程， 即 则称为齐次方程。 1、迭代法 为方程的解。 2、用特征方程求解 设 是方程的一个解， 代入方程 此式称为差分方程的 根r=b称为特征根。故 的一个特解， 特征方程。 若y0已知，代入原方程得 为已知m次多项式，可以证明非齐次方程 的特解形式是 形如 称为二阶常系数线性非齐次差分方程； 则称为二阶常系数线性齐次差分方程。 与一阶类似， 程的一个解，代入方程得 得特征方程： （1） 则有两相异实根 则方程的通解为 则有两相同实根 （2） 则方程的通解为 则有两个共轭复根 与微分方程中证明类似，方程的通解为： *