差分方程建模1.ppt

* §4.4 差分方程建模 一、差分方程简介 以t 表示时间，规 定t只取非负整数。t=0表示第一周期初，t=1表示第二周期初等。 记yt 为变量y在时刻t 时的取值，则称 为yt 的一阶差分，称 为的二阶差分。类似地，可以定义yt的n阶差分。 由t、yt及yt的差分给出的方程称 为yt差分方程，其中含的最高阶差分的阶数称为该差分方程的阶。差分方程也可以写成不显含差分的形式。例如，二阶差分方程 也可改写成 满足一差分方程的序 列yt称为此差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程 的通解。若解中不含任意常数，则称此解为满足某些初值条件的 特解，例如，考察两阶差分方程 易见 与 均是它的特解，而 则为它的通解，其 中c1，c2为两个任 意常数。类似于微分方程，称差分方程 为n阶线性差分方程， 当 ≠0时称其为n阶非齐次线性差分方程，而 则被称为方程对应的 齐次线性差分方程 。 若所有的 ai(t)均为与t无关的常数，则称其为 常系数差分方程，即n阶常系数线性差分方程可分成 （4.15） 的形式，其对应的齐次方程为 （4.16） 容易证明，若序列 与 均为方程（4.16）的解，则 也是方程（4.16）的解，其 中c1、c2为任意常数，这说明， 齐次方程的解构成一个 线性空间（解空间）。 此规律对于（4.15）也成立。 方程（4.15）可用如下的代数方法求其通解： （步一）先求解对应的特征方程 （4.17） （步二）根据特征根的不同情况，求齐次方 程(4.16)的通解 情况1 若特征方程（4.17）有n个互不相同的实根 ,…, ，则齐次方程（4.16）的通解为 (C1,…,Cn为任意常数) ， 情况2 若λ?是特征方程（4.17）的k重根，通解中对应 于λ的项为 为任意常数，i=1,…,k。 情况3 若特征方程（4.17）有单重复根 通解中对应它们的项为 为λ的模， 为λ的幅角。 情况4 若 为特征方程（4.17）的k重复根，则通 解对应于它们的项为 为任意常数，i=1,…,2k。 .若yt为方程(4.16)的通解,则非齐次方程 (4.15)的通解为 （步三） 求非齐次方程 (4.15)的一个特解 求非齐次方程（4.15）的特解一般要用到 常数变易法，计算较繁。对特殊形式 的b(t)也可使用 待定系数法。 例4.13 求解两阶差分方程 解 对应齐次方程的特征方程为 ，其特征根为 ，对应齐次方程的通解为 原方程有形如 的特解。代入原方程求得 ， ，故原方程的通解为 在应用差分方程研究问题时，一般不需要求出方程的通解，在给定初值后，通常可用 计算机迭代求解，但我们常常需要讨论解的稳定性。对 差分方程(4.15),若不论其对应齐次方程的通解中任意常 数C1,…,Cn如何取值 , 在 时总有 ,则称方程 (7.14)的解是稳定 的,否则称其解为不稳定 的.根据通解的结构不难看出 ,非齐次方程(4.15)稳定的充要条件为其所有特征根的模均小 于1。 例4.14（市场经济的蛛网模 型） 在自由竞争的市场经济中，商品的价格是由市场上该商品的供应量决定的，供应量越大，价格就越低。另一方面，生产者提供的商品数量又是由该商品的价格决定的，价格上升将刺激生产者的生产积极性，导致商品生产量的增加。反之，价格降低会影响生产者的积极性，导致商品生产量的下降。 在市场经济中，对每一商品事实上存在着两个不同的函数： （1）供应函数x=f(P)，它是价格P的单增函数，其曲线称为供应曲线。 （2）需求函数x=g(P)，它是价格P的单降函数，其曲线称为需求曲线，供应曲线与需求曲线的 形状如图所示。 记t时段初市场上的供应量 (即上 一时段的生产 量)为xt ，市场上 该商品的价格 为Pt 。商品成交的 价格是由需求曲线决定的， 即 随着 ,Mt将趋于平衡点M*,即商品量将趋于平衡 量x*,价格将趋于平衡价 格P*。图中的箭线反映了在市场经济