常微分方程(组)的数值解法.ppt

2.3 常微分方程（组）的数值解法 知识要点 Matlab常微分方程求解问题分类 Matlab求解初值问题函数 odefile odefile是一个Matlab函数文件，一般作为整个求解程序的一个子函数，表示ode求解问题 对于程序通用性要求不高的场合，只需将原有模型写成标准形式，然后“翻译”成Matlab语言即可 odefile的编写---常微分方程组 高阶微分方程odefile的编写 * * 常微分方程初值问题---ode45,0de23 微分方程在化工模型中的应用 间歇反应器的计算 活塞流反应器的计算 全混流反应器的动态模拟 定态一维热传导问题 逆流壁冷式固定床反应器一维模型 固定床反应器的分散模型 初值问题： 定解附加条件在自变量的一端 一般形式为： 初值问题的数值解法一般采用步进法，如Runge-Kutta法 边值问题： 在自变量两端均给定附加条件 一般形式： 边值问题可能有解、也可能无解，可能有唯一解、也可能有无数解 边值问题有3种基本解法 迭加法 打靶法 松弛法 Matlab求解常微分方程初值问题方法 将待求解微分方程（组）转化为标准形式， “翻译”成Matlab可以理解的语言 编写odefile文件 选择合适的解算指令求解问题 根据求解问题的要求，设置解算指令的调用格式 低阶法解刚性ODE ode23tb 低阶法解刚性ODE ode23s 变阶法解刚性ODE ode15s 解适度刚性ODE ode23t 读取ODE选项的设置 odeget 普通变阶法解ODE ode113 创建、更改ODE选项的设置 odeset 选 项 普通4-5阶法解ODE ode45 ODE文件格式 odefile 普通2-3阶法解ODE ode23 解 算 含义 指令 含义 指令 odefile的编写---常微分方程 function f=fun(x,y) f=y-2*x/y; 求解初值问题： 自变量在前，因变量在后 ode输入函数 输出变量为因变量导数的表达式 初值问题： function f=fun(x,y) f=y＋y^2; 常微分方程组与单个常微分方程求解方法相同，只需在编写odefile时将整个方程组作为一个向量输出。 function f=fun(x,y) dy1dx = 0.04*(1-y(1))-(1-y(2)).*y(1)+0.0001*(1-y(2)).^2; dy2dx = -1e4*dy1dx + 3000*(1-y(2)).^2; f = [dy1dx; dy2dx]; 本例的难度： 求解： y(0)=0，y(0)=1， 方程系数非线性 可在odefile中定义 方程高阶，非标准形式 方程变形：令y1＝y；y2＝y’ 则原方程等价于： function f=fun(t,y) a=-exp(-t)+cos(2*pi*t)*exp(-2*t); b=cos(2*pi*t); f=[y(2);-a*y(2)^2-b*y(1)+exp(t)*b]; 解算指令的使用方法 [T,Y]=ode45(@fun, TSPAN,Y0) 输出变量T为返回时间列向量；解矩阵Y的每一行对应于T的一个元素，列数与求解变量数相等。 @fun为函数句柄，为根据待求解的ODE方程所编写的ode文件（odefile）； TSPAN＝[T0 TFINAL]是微分系统y＝F(t,y)的积分区间；Y0为初始条件 常微分方程初值问题解算指令比较 低 TR-BDF2（隐式Runge-Kutta法） ode23tb 适中 使用梯形规则 ode23t 低 二阶改进的Rosenbrock法 ode23s 低～中 基于数值差分的可变阶方法（BDFs，Gear） ode15s 可变阶Adams-Bashforth-Moulton法 ode113 低 二三阶Runge-Kutta法 ode23 较高 四五阶Runge-Kutta法 ode45 精度 算法 解算指令 ode解算指令的选择(1) 求解初值问题： 比较ode45和ode23的求解精度和速度 1.根据常微分方程要求的求解精度与速度要求 ode45和ode23的比较-1 function xODE clear all clc format long y0 = 1; [x1,y1] = ode45(@f,[0,1],y0); [x2,y2] = ode23(@f,[0,1],y0); plot(x1,y1,k-,x2,y2,b--) xlabel(x) ylabel(y) % -------------------------------------------------