常微分方程-拉氏变换法求解常微分方程.ppt

* * * 拉普拉斯变换法 /Laplace Transform / * 拉普拉斯变换 含义： 简称拉氏变换 从实变量函数到复变量函数间的一种函数变换 用途与优点 对一个实变量函数作拉氏变换，并在复数域中进行运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域计算容易得多。 应用： 求解线性微分方程 在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合 * 拉普拉斯变换法用于求解常微分方程的基本思路： 对常微分方程进行拉氏变换法，得代数方程，求解 再反变换获取原方程的解 问题： 1. 什么是拉氏变换 2. 拉氏变换的基本性质 3. 什么是拉氏逆变换 4. 如何用拉氏变换求解微分方程 * 若 1拉普拉斯变换定义(简称拉氏变换) 对于在 上有定义的函数 对于已给的S（一般为复数）存在，则称 为函数 的拉普拉斯变换，记为 f (t)称为Laplace Transform 的原函数，F(s)称为f (t)的象函数. * 拉普拉斯变换法存在性 是分段连续的, 并且 常数 假若函数 在 的每一个有限区间上 使对于所有的 都有 成立 则当 时, 的Laplace Transform 是存在的。 * 例1 当 即 拉普拉斯变换实例 * 例2 ( 是给定的实数或复数 ) * 常用函数拉氏变换表 利用拉氏变换进行计算时，可直接查变换表得结果 * §2 拉普拉斯变换的基本性质 1 线性性质 如果 是原函数, 和 是任意两个常数(可以是复数)，则有 * 2 原函数的微分性质 如果 都是原函数，则有 或 * 3 象函数的微分性质 * §3 拉普拉斯逆变换 已知象函数，求原函数 也具有线性性质 * 由线性性质可得 如果 的拉普拉斯变换 可分解为 并假定 的拉普拉斯变换容易求得，即 则 * 例3 求 的Laplace 反变换 解 拉普拉斯逆变换实例 * 例4 求 的Laplace 反变换 解 * 4 拉普拉斯变换法(求非齐次线性方程的特解 ) 步骤： * 4 拉普拉斯变换法(求非齐次线性方程的特解 ) 为常数 令 * 给(4.32)两端施行Laplace Transform * 解 令 例5 满足初始条件 求 的特解 用拉氏变换求微分方程实例 * 令 例 6 求 满足初始条件 的特解 解 * * 例 7 求 满足初始条件 的特解 令 解 * 作业 求下列初值问题的解：