常微分方程ODE复习.ppt

* * 基 本 概 念 微分方程：含有未知函数的导数 （或微分）的方程。 常微分方程：未知函数是一元函数 的微分方程。 偏微分方程：未知函数是多元函数 的微分方程。 微分方程的阶：方程中未知函数的 导数的最高阶数。 一个微分方程，则称它为该微 分方程的解。 微分方程的解：若函数 满足 微分方程的解可以是显函数，也可 为隐函数。 通解：如果微分方程的解中含有任意 常数，且任意常数的个数与微 分方程的阶数相同，该解称为 微分方程的通解。 初始条件：当自变量取某数值时，要 求未知函数及其导数取给定的 值，这种条件称为初始条件。 特解：满足给定初始条件的解，称为 微分方程的特解。 的几何图形，称为微分方程的 一条积分曲线。 积分曲线：微分方程的特解 一阶微分方程 一、变量可分离的微分方程： 行如： 解法： 两边积分有 例：1、求微分方程 的通解。 2、求微分方程 满足初始条件 的特解 3、 = 二、齐次型微分方程 行如： 解法：令 则 代入有 如 三、一阶线性微分方程 行如： 当自由项 时，即 称为一阶线性齐次微分方程。 称为一阶线性非齐次微分方程。 若 1、线性齐次微分方程的通解： 解法： 两边积分 2、线性非齐次微分方程的通解： 解法：采用常数变易法 设非齐次线性方程的通解为 代入方程经计算有 通解： 可降阶的二阶微分方程 一、 型的微分方程： 解法：连续两次积分，通解含有 两个任意常数。 类似地，高阶方程 解法：n 次积分。 二、 型的微分方程： 特点：方程的右端不显含 y 解法：设 则 代入有 该式为以x为 自变量，函数为 一阶 微分方程。 三、 型的微分方程 特点：方程的右端不显含 x 解法：设 则 于是方程化为 此方程为一阶微分方程。 二阶线性微分方程 形如： 称为二阶线性微分方程 当 时，方程 称为二阶线性齐次微分方程 一、线性微分方程解的结构 定理1：如果 是线性 齐次方程 的解，则 和 也是线性齐次方程的解。 线性相关：如果 与 之比 为常数。 线性无关：如果 与 之比 不为常数。 定理2：如果 是线性齐次 方程 的两个线性无关解，则该方 程的通解为 定理3：如果 是二阶线性非齐次 方程 齐次方程 的通解，则非齐次方程的通解为 的一个特解， 是相应的 二、二阶线性常系数齐次微分方程 形如： 特征根法： 1、特征方程 2、求特征方程的根，即特征根 3、根据特征根的不同情况，写 出相应的齐次方程的通解。 若特征根为 （1）当 是两个不相等的实根 齐通解为： （2）当 是两个相等的实根， 齐通解为 （3）当 是一对共轭 复根，齐通解为 例：1、求微分方程 的通解。 2、求微分方程 的通解。 3、求微分方程 满足 的特解。 *