常微分方程第一、二章考试卷1.doc

常微分方程第一章、第二章测验试卷(1) 班级 姓名 学号 得分 填空 1、______________称为一阶线性方程，它有积分因子____________，其通解为__________________________。 2、当________________时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程，或称全微分方程。 3、_______________________称为伯努利方程，它有积分因子______________________。 4、____________________________称为齐次方程。 5、方程，当时，通过_______________________,可化为齐次方程， =0，令u=_____________________，化为变量分离方程。 6、____________________________称为黎卡提方程，若它有一个特解，则经过变换_______________________,可化为伯努利方程。 7、ydx+xdy=_______________, =____________ 8、=___________, =___________ 9、=___________, =___________ 求下列方程的通解 1、(y-2x)dx+(+)dy=0 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 证明题 1、在微分方程 中，P、Q、R都是关于x、y的齐次方程，且P和Q的次数相同。试证：通过变量变换y=xv，此方程可化为伯努利方程。 2、试导出方程M(x,y)+N(x,y)dy=0有形如u(x+y)的积分因子的充要条件。 参考答案 一、 1、 2、 3、、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 二、1、 即 2、 即 3、 故可得通解为 即 4、 方程两边同乘以u(x) 即得全微分方程 所以，方程的通解为 5、解、等式两边同除以x(y-1)，则方程可化为 积分上式，即得 显然y=1也是原方程的解。 6、 7、 因这是线性微分方程，得 8、解：所给定微分方程是线性微分方程，其通解为 9、 于是，所求的通解为 三、 解：设P、Q为m次的齐次函数，R为n次齐次函数 因此，所给微分方程变为 解：一般函数u(x,y)是积分因子的充要条件是 现若u(x+y)=u(z)是积分因子，则 即 故要使方程有形如u(x+y)的积分因子的充要条件是 班级:02411-31 姓名:葛云飞 日期:2004年11月3日