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线性常系数非齐次方程 对应齐次方程通解 模型建立 几种常见的给药方式 1.快速静脉注射 t=0 瞬时注射剂量D0的药物进入中心室,血药浓度立即为D0/V1 给药速率 f0(t) 和初始条件 2.恒速静脉滴注 t T, c1(t)和 c2(t)按指数规律趋于零 药物以速率k0进入中心室 0 T t £ £ 吸收室 中心室 3.口服或肌肉注射 相当于药物( 剂量D0)先进入吸收室,吸收后进入中心室 吸收室药量x0(t) 参数估计 各种给药方式下的 c1(t), c2(t) 取决于参数k12, k21, k13, V1,V2 t=0快速静脉注射D0 ,在ti(i=1,2,?n)测得c1(ti) 由较大的 用最小二乘法定A,? 由较小的 用最小二乘法定B,? 参数估计 进入中心室的药物全部排除 过滤嘴的作用与它的材料和长度有什么关系 人体吸入的毒物量与哪些因素有关,其中哪些因素影响大,哪些因素影响小。 模型分析 分析吸烟时毒物进入人体的过程,建立吸烟过程的数学模型。 设想一个“机器人”在典型环境下吸烟,吸烟方式和外部环境认为是不变的。 问题 5.5 香烟过滤嘴的作用 模型假设 定性分析 1)l1~烟草长, l2~过滤嘴长, l = l1+ l2, 毒物量M均匀分布,密度w0=M/l1 2)点燃处毒物随烟雾进入空气和沿香烟穿行的数量比是a′:a, a′+a=1 3)未点燃的烟草和过滤嘴对随烟雾穿行的毒物的(单位时间)吸收率分别是b和? 4)烟雾沿香烟穿行速度是常数v,香烟燃烧速度是常数u, v u Q ~ 吸一支烟毒物进入人体总量 模型建立 0 t=0, x=0,点燃香烟 q(x,t) ~ 毒物流量 w(x,t) ~ 毒物密度 1) 求q(x,0)=q(x) t时刻,香烟燃至 x=ut 1) 求q(x,0)=q(x) 2) 求q(l,t) 3) 求w(ut,t) 4) 计算 Q 结果分析 烟草为什么有作用? 1)Q与a,M成正比, aM是毒物集中在x=l 处的吸入量 2) ~过滤嘴因素,?, l2 ~ 负指数作用 是毒物集中在x=l1 处的吸入量 3)?(r)~ 烟草的吸收作用 b, l1~ 线性作用 带过滤嘴 不带过滤嘴 结果分析 4) 与另一支不带过滤嘴的香烟比较,w0, b, a, v, l 均相同,吸至 x=l1扔掉 提高 ?-b 与加长l2,效果相同 5.6 人口预测和控制 年龄分布对于人口预测的重要性 只考虑自然出生与死亡,不计迁移 人口发展方程 人口发展方程 一阶偏微分方程 人口发展方程 ~已知函数(人口调查) ~生育率(控制人口手段) 0 t r 生育率的分解 ?~总和生育率 h~生育模式 0 人口发展方程和生育率 ~总和生育率——控制生育的多少 ~生育模式——控制生育的早晚和疏密 正反馈系统 滞后作用很大 人口指数 1)人口总数 2)平均年龄 3)平均寿命 t时刻出生的人,死亡率按 ?(r,t) 计算的平均存活时间 4)老龄化指数 控制生育率 控制 N(t)不过大 控制 ?(t)不过高 5.7 烟雾的扩散与消失 现象和 问题 炮弹在空中爆炸,烟雾向四周扩散,形成圆形不透光区域。 不透光区域不断扩大,然后区域边界逐渐明亮,区域缩小,最后烟雾消失。 建立模型描述烟雾扩散和消失过程,分析消失时间与各因素的关系。 问题分析 无穷空间由瞬时点源导致的扩散过程,用二阶偏微分方程描述烟雾浓度的变化。 观察的烟雾消失与烟雾对光线的吸收,以及仪器对明暗的灵敏程度有关。 模型假设 1)烟雾在无穷空间扩散,不受大地和风的影响;扩散服从热传导定律。 2)光线穿过烟雾时光强的减少与烟雾浓度成正比;无烟雾的大气不影响光强。 3)穿过烟雾进入仪器的光线只有明暗之分,明暗界限由仪器灵敏度决定。 模型建立 1)烟雾浓度 的变化规律 热传导定律:单位时间通过单位法向面积的流量与浓度梯度成正比 曲面积分的奥氏公式 1)烟雾浓度 的变化规律 初始条件 Q~炮弹释放的烟雾总量 ? ~单位强度的点源函数 对任意t, C的等值面是球面 x2+y2+z2=R2; R??C? 仅当 t??, 对任意点(x,y,z), C?0 1)烟雾浓度 的变化规律 2)穿过烟雾光强的变化规律 光强的减少与烟雾浓度成正比 3)仪器灵敏度与烟雾明暗界限 烟雾浓度连续变化 烟雾中光强连续变化 仪器 z -? ? 设光源在z=-?, 仪器在z=?,则观测到的明暗界限为 不透光区域有扩大、缩小、消失的过程 穿过烟雾进入仪器的光线只有明暗之分,明暗界限由仪器

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