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线性常系数非齐次方程 对应齐次方程通解 模型建立 几种常见的给药方式 1.快速静脉注射 t=0 瞬时注射剂量D0的药物进入中心室,血药浓度立即为D0/V1 给药速率 f0(t) 和初始条件 2.恒速静脉滴注 t T, c1(t)和 c2(t)按指数规律趋于零 药物以速率k0进入中心室 0 T t ￡ ￡ 吸收室 中心室 3.口服或肌肉注射 相当于药物( 剂量D0)先进入吸收室，吸收后进入中心室 吸收室药量x0(t) 参数估计 各种给药方式下的 c1(t), c2(t) 取决于参数k12, k21, k13, V1,V2 t=0快速静脉注射D0 ,在ti(i=1,2,?n)测得c1(ti) 由较大的 用最小二乘法定A,? 由较小的 用最小二乘法定B,? 参数估计 进入中心室的药物全部排除 过滤嘴的作用与它的材料和长度有什么关系 人体吸入的毒物量与哪些因素有关，其中哪些因素影响大，哪些因素影响小。 模型分析 分析吸烟时毒物进入人体的过程，建立吸烟过程的数学模型。 设想一个“机器人”在典型环境下吸烟，吸烟方式和外部环境认为是不变的。 问题 5.5 香烟过滤嘴的作用 模型假设 定性分析 1）l1~烟草长， l2~过滤嘴长， l = l1+ l2， 毒物量M均匀分布，密度w0=M/l1 2）点燃处毒物随烟雾进入空气和沿香烟穿行的数量比是a′:a, a′+a=1 3）未点燃的烟草和过滤嘴对随烟雾穿行的毒物的(单位时间)吸收率分别是b和? 4）烟雾沿香烟穿行速度是常数v，香烟燃烧速度是常数u， v u Q ~ 吸一支烟毒物进入人体总量 模型建立 0 t=0, x=0，点燃香烟 q(x,t) ~ 毒物流量 w(x,t) ~ 毒物密度 1) 求q(x,0)=q(x) t时刻，香烟燃至 x=ut 1) 求q(x,0)=q(x) 2) 求q(l,t) 3) 求w(ut,t) 4) 计算 Q 结果分析 烟草为什么有作用? 1）Q与a,M成正比， aM是毒物集中在x=l 处的吸入量 2) ~过滤嘴因素，?, l2 ~ 负指数作用 是毒物集中在x=l1 处的吸入量 3）?(r)~ 烟草的吸收作用 b, l1~ 线性作用 带过滤嘴 不带过滤嘴 结果分析 4) 与另一支不带过滤嘴的香烟比较，w0, b, a, v, l 均相同，吸至 x=l1扔掉 提高 ?-b 与加长l2，效果相同 5.6 人口预测和控制 年龄分布对于人口预测的重要性 只考虑自然出生与死亡，不计迁移 人口发展方程 人口发展方程 一阶偏微分方程 人口发展方程 ~已知函数（人口调查） ~生育率（控制人口手段） 0 t r 生育率的分解 ?~总和生育率 h~生育模式 0 人口发展方程和生育率 ~总和生育率——控制生育的多少 ~生育模式——控制生育的早晚和疏密 正反馈系统 滞后作用很大 人口指数 1）人口总数 2）平均年龄 3）平均寿命 t时刻出生的人，死亡率按 ?(r,t) 计算的平均存活时间 4）老龄化指数 控制生育率 控制 N(t)不过大 控制 ?(t)不过高 5.7 烟雾的扩散与消失 现象和 问题 炮弹在空中爆炸，烟雾向四周扩散，形成圆形不透光区域。 不透光区域不断扩大，然后区域边界逐渐明亮，区域缩小，最后烟雾消失。 建立模型描述烟雾扩散和消失过程，分析消失时间与各因素的关系。 问题分析 无穷空间由瞬时点源导致的扩散过程，用二阶偏微分方程描述烟雾浓度的变化。 观察的烟雾消失与烟雾对光线的吸收，以及仪器对明暗的灵敏程度有关。 模型假设 1）烟雾在无穷空间扩散，不受大地和风的影响；扩散服从热传导定律。 2）光线穿过烟雾时光强的减少与烟雾浓度成正比；无烟雾的大气不影响光强。 3）穿过烟雾进入仪器的光线只有明暗之分，明暗界限由仪器灵敏度决定。 模型建立 1）烟雾浓度 的变化规律 热传导定律：单位时间通过单位法向面积的流量与浓度梯度成正比 曲面积分的奥氏公式 1）烟雾浓度 的变化规律 初始条件 Q~炮弹释放的烟雾总量 ? ~单位强度的点源函数 对任意t, C的等值面是球面 x2+y2+z2=R2; R??C? 仅当 t??, 对任意点(x,y,z), C?0 1）烟雾浓度 的变化规律 2）穿过烟雾光强的变化规律 光强的减少与烟雾浓度成正比 3）仪器灵敏度与烟雾明暗界限 烟雾浓度连续变化 烟雾中光强连续变化 仪器 z -? ? 设光源在z=-?, 仪器在z=?,则观测到的明暗界限为 不透光区域有扩大、缩小、消失的过程 穿过烟雾进入仪器的光线只有明暗之分，明暗界限由仪器