常微分方程9.5ppt.ppt

上式即 故原方程有一特解为 综上所述，原方程的通解为 将它代入原方程，得 请同学们自己算 解 对应的齐方程的通解为 综上所述，原方程的通解为 例 请看上例 其中 k＝ y?+4y=cos2x 特征方程 r2+4=0, 得r1,2=?2i 例 解 y?+y=exsinx 特征方程 r2+1=0, 得r1,2=?i 例 解 特征方程 r2–5r＋6＝0 得 r1=2, r2=3 (2) 再求y*： 有 (1) (2) (1) 先求y： ? 例 解 求方程(1)的 y1*: 设y1*=Axe2x 代入方程(1)得 A＝–2 (1) r1=2, r2=3 r2–5r＋6＝0, 求方程(2)的y2*: 代入方程(2)得 (2) r2–5r＋6＝0, r1=2, r2=3 解 代入上述方程，得 原方程有一特解为 例 解 思 考 形如 的方程，称为 n 阶常系数线性齐微分方程， 四、n 阶常系数齐线性微分方程 n 阶常系数线性齐微分方程的特征方程为 特 征 根 通 解 中 的 对 应 项 解 例 解 在研究弹性地基梁时，遇到一个微分方程 试求此方程的通解。 例 第六节 欧拉方程 形如 的方程，称为 n 阶欧拉方程，其中 关于变量 t 的常系数线性微分方程 。 引入算子记号： 由数学归纳法可以证明： 例 解 这是三阶欧拉方程， 作代数运算后，得 即 这是一个三阶常系数线性非齐微分方程，且 方程 (1) 对应的齐方程的通解为 为方程 (1) 特解形式，代入方程 (1) 中，得 从而 故原欧拉方程的通解为 将方程化为 (欧拉方程) 则方程化为 即 ② 特征根: 设特解: 代入 ② 解得 A = 1, 所求通解为 例 解 由题设得定解问题 ③ 则③化为 特征根: 设特解: ④ ⑤ 代入⑤得 A＝1 例 解 第七节 常系数线性微分方程组求解举例 常系数线性微分方程组解法步骤: 第一步 用消元法消去其他未知函数 , 得到只含一个 函数的高阶方程 ; 第二步 求出此高阶方程的未知函数 ; 第三步 把求出的函数代入原方程组 , 注意: 一阶线性方程组的通解中, 任意常数的个数 = 未知函数个数 一般通过求导 得其它未知函数 . 如果通过积分求其它未知函数 , 则需要讨论任意常数 的关系. 解微分方程组 ① ② 由②得 ③ 代入①, 化简得 特征方程: 通解: ④ 将④代入③, 得 ⑤ 例 解 原方程通解: 注意: 1) 不能由①式求 y, 因为那将引入新的任意常数, (它们受②式制约). 3) 若求方程组满足初始条件 的特解, 只需代入通解确定 即可. 2) 由通解表达式可见, 其中任意常数间有确定的关系, 解微分方程组 则方程组可表为 ⑥ ⑦ 用代数方法 消元自作 根据解线性方程组的克莱姆法则, 有 例 解 即 其特征方程: 特征根: 记 记 ⑧ 代入⑧可得 A＝1, 故得⑧的通解: ⑨ 求 x : ⑦×D－⑥得 ⑩ ⑨,⑩联立即为原方程的通解. 第五节 高阶常系数线性微分方程 一、特征方程与特征根 二、二阶常系数齐次线性微分方程 三、二阶常系数非齐线性微分方程 四、 n 阶常系数齐线性微分方程 一. 特征方程与特征根 称为n阶常系数非齐线性微分方程。 方程（2）称为n阶常系数齐线性微分方程。 和它的导数只差常数因子, 代入(2)得 ( r 为待定常数 ), 所以令(2)的解为 称(3)为微分方程(2)的特征方程, 其根称为特征根. 形如 的方程，称为二阶常系数线性齐微分方程， 即 特征方程 二、二阶常系数线性微分方程 二阶常系数线性齐微分方程 的特征方程为 是方程 (1) 的两个线性无关的解，故方程 (1) 的通解为 二阶常系数线性齐微分方程 的特征方程为 由求根公式 由刘维尔公式求另一个解： 于是，当特征方程有重实根时，方程 ( 1 ) 的通解为 二阶常系数线性齐微分方程 的特征方程为 3) 特征方程有一对共轭复根： 是方程 ( 1 ) 的两个线性无关的解，其通解为 欧拉公式： 由线性方程解的性质： 均为方程 ( 1 ) 的解，且它们是线性无关的： 故当特征方程有一对共轭复根 时，原方程的通解可表示为 二阶常系数线性齐微分方程 特征方程 特 征 根 通 解 形 式 解 例 解 例 解 故所求特解为 例 解 此时弹簧仅受到弹性恢复力 f 的作用。求反映此弹 突然放手， 开始拉长， 簧运动的规律（设其弹性系数为 k ）。 例 解 此时弹簧仅受到弹性恢复力 f 的作用。求反映此弹 突然放手， 开始拉长， 簧运动的规律（设其弹性系数为 k ）。 取 x 轴如如图所示。 由力学的