常微分方程课件--奇解和包络.ppt

* * §2.4 奇 解 和 包 络 一、包络和奇解 1 包络的定义 定义1：对于给定的一个单参数曲线族： 曲线族(1)的包络是指这样的曲线, 它本身不包含在 曲线(1)中,但过这曲线的每一点有(1)中的一条曲线和它在这点相切. 对于给定的一个单参数曲线族： 其中 为参数. 若存在一条曲线 满足下列条件: (1) (2) 对任意的 存在唯一的 使得 且 与 在 有相同的切线. 则称 为曲线族 的一条包络线, 简称为包络. 或定义： 例如 单参数曲线族： （其中R是常数，c是参数）表示圆心为（c,0）而半径等于R的一族圆. 如图 R 从图形可见,此曲线族的包络显然为: 注:并不是每个曲线族都有包络. 例如: 单参数曲线族: (其中c为参数)表示一族同心圆. 如图 从图形可见, 此曲线族没有包络. 问题:对于给定的单参数曲线族: 如何判断它是否有包络? 如果有包络, 如何求? 根据定义, 假设该单参数曲线族有包络 则对任意的 存在唯一的 使得 于是得到对应关系: 从而得到二元函数 使得 若 可用参数形式表示为: 记 则 于是, 上任取一个固定点M, 则M在某一条曲线 上. 由于 与 在M点有相同的切线, 而 与 在M点的切线的斜率 分别为 与 所以, 有 从而 由于在 上不同的点也在不同的 上, 即 因此 现在 因此, 包络线 任意一点M不仅要满足 而且还要满足 把联立方程组: 中消去参数c得到的方程F(x,y)=0所表示的曲线 称为曲线族 的c-判别曲线 2 包络的求法 曲线族(1)的包络包含在下列两方程 注: 解: 记 则 即 例1: 的包络. 求曲线族 因此c-判别曲线包括两条曲线(2)和(3), x y O 例2: 求直线族: 的包络. 这里 是参数, 是常数. 解: 记 则 消去参数 得 的c-判别曲线: 经验证 是曲线族 的包络. 如图: O x y 3 奇解 定义2: 微分方程的某一解称为奇解,如果在这个解的每一点还有方程的另外一个解存在. 注:一阶微分方程的通解的包络一定是奇解;反之微分方程的奇解(若存在)也是微分方程的包络. 例如: 4 奇解的求法 方程 的奇解包含在由方程组 注: 例3: 求微分方程 的奇解. 解: 从 消去p(实际上p=0), 得到p-判别曲线 即 由于方程的通解为: *