常微分方程预备知识.ppt

由力的平衡： 质量守恒定律： 3.欧式期权模式（买入） 符号含义 假定1：资产瞬间“回报率”是随机变化，即 投资组合的整体变化： （Tarloy公式） (方差与期望) 假定3：无套利的行为思想 这是关于期权价值的模型方程，称为Black-Scholes方程 ４．冰的融化模型（边界条件） 符号说明 垂直于自由边界的速度 由热量守恒定律 Stefan边界条件： Dirichlet边界条件： 自由边界的方程假设为 热传导方程 ５．金属工件电解模型 问题：将金属工件浸在电解液中被腐蚀成需要的形状的 　　　电化学加工过程 导电性相对弱的电解液中的电位 边界条件：１：Dirichlet边界 ２：工件的电解速度正比于局部的电场强度， 即Neumann条件 Hele-Show自由边值问题 ６：传输线方程 在电气技术、无线电技术以及电信技术中，经常要用 二阶偏微分方程 ,例如，考虑双线传输的电路. 在导线任取一小段 电阻 电感 电导 电容 微元的终点电流和电压分别为 、 根据基尔霍夫第一定律，对于等效电路，流出电路上 某点的电流等于流入此点的如下各电流之和 微元终点的电流 导线间的漏电流 导线介质中的平移电流 基尔霍夫第二定律 化简并忽略二阶无穷小量得到 ７　浅水波模型 问题：在水平的河床上一具有深度为h（x，t）的自由曲面 的流体薄层，重力与惯性力平衡， 沿水平流动． 由河水的水平力平衡，则 由质量守恒定律 8 填料床模型 假设：问题为一维的，无热传导，薄气体层中相邻粒子 之间的平衡只有热对流和热交换的平衡 对于气体来说，平均热平衡形式 对于粒子 9 脆性断裂模型 图 未受腐蚀材料的脆性断裂 1:因为裂缝表面不受拉力，所以在裂缝上下部有 2:裂缝具有对称性，即 3:假设裂缝在无穷远处受均匀剪切力，即 混合边值问题，部分为Neumann条件，部分为Dirichlet条件 偏微分方程（组）所反映的物理过程不只单一反应某一个 特定的物理过程 海底电缆的电压 导线圈所围的圆柱体内的磁场强度 污染物在湖泊中的扩散 Fourier变换和离散Fourier级数 Riemann引理： 设函数可积和平方可积，那么下列极限式成立： Fourier变换的基本性质： 是连续函数。 线性: 平移 那么 . 导数: 定义：取 是节点，称 为 在区间 上关于节点 的有限Fourier级数展开式, 称为Fourier系数。 定理 对于序列 和 为 上的节点，则有 证明 由积化和差的公式 定理 对于有限Fourier级数，有 证明 因为 第五节 有限差分的基本概念 对于求解的偏微分方程定解问题，有限差分方法的主要步骤如下： (i)利用网格线将定解区域化为离散点集； (ii)通过适当途径将偏微分方程离散化为差分格式，不同的离散化途径得到不同的差分格式； (iv)利用插值方法，可从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解 (iii)建立差分格式后，将原来的偏微分方程定解问题化为代数方程组，解代数方程组，得到由定解问题的解在离散点集上的近似值组成的离散解； 利用网格线将定解区域化为离散化的节点集，是微分方程定解问题离散化为差分方程的基础 由于解的问题各不相同，导致求解区域的不同，网格划分也不尽相同。 定解区域的离散化 对于偏微分方程的初值问题，或初边值问题，求解区域是： 在x-t平面上，用平行于坐标轴的两族平行直线，将定解区域剖分为矩形网格 则有 1:弦振动问题 问题:一根拉紧均匀且柔软的弦,设其长为L，两端固定 在横轴0点和L点，求弦在平衡位置附近的微小振动的 表达式。 u(x,t):质点在ｘ处ｔ时刻的位移 Ｔ的方向：弦上各点的张力方向是弦的切线方向。 考虑在任一时刻ｔ，任取一段弦（ｘ，ｘ＋ｄｘ）， 则弧长为： 第一节：经典物理现象的数学描述 2:薄膜振动问题 3:位势方程 称为poisson方程,也即膜振动的调和方程,也即 Laplace方程,称为位势方程. 4:热传导问题 5:理想流体的流动问题 第二节：二阶线性方程的分类 一般地， 个自变量的二阶线性偏微分方程可表示为 当系数是常数时，称为常系数线性偏微分方程。 否则称为变系数的。 当 方程称为齐次方程。否则为非齐次的 一般讨论变量 通过适当的坐标变换，可以得到如下一阶常微分方程 定义 称一阶常微分方程为二阶线性偏微分方程的 特征方程。称特征方程的积分曲线为二阶线性偏微 分方程的特征曲线。 解特征方程的积分曲线，可以化为 特征方程的解取决于它的判别式 则有两条不同的实特征线，此时称方