弹性力学的第五章.ppt

§5－4 弹性体的形变势能 外力势能 （3）对于平面应力问题 或平面应变问题 单元体积上应力所做的功都是 （4）假设没有转化为非机械能和动能，则 应力所做的功全部转化为弹性体的 内力势能，又称为形变势能，或应变能， 存贮于物体内部。 ─单位体积的形变势能（形变势能密度）。 （5）整个弹性体的形变势能是 3.形变势能 的性质 （1） 是应变或位移的二次泛函， 故不能应用叠加原理。 （2）应变或位移发生时， 总是正的，即 （3） 的大小与受力次序无关。 （4） 对应变的导数，等于对应的应力： 4.弹性体的总势能，是外力势能和内力 （形变）势能之和， 1.试证明在线性的应力与应变关系下， 　　。 2. 试由式(e)导出式(g)。 3. 试列出极坐标系中平面应力问题的形变势能公式，并与式(d)、(e)和( f )相比较。 §5－5　位移变分方程 在位移变分法中，所取泛函为总势能 ，其宗量为位移状态函数 ， 。 现在来导出位移变分方程。 2.虚位移状态 ⑴ 虚位移（数学上称为位移变分） ， 　表示在约束条件允许下，平衡状态附近的微小位移增量，如图所示。 虚位移应满足 上的约束边界条件，即 　　　　　　 虚位移不是实际外力作用下发生的，而是假想由其他干扰产生的。因此，虚位移状态 就构成实际平衡状态附近的一种邻近状态。 微分─是在同一状态下，研究由于位置 (坐标) 改变而引起函数的改变。 其中的自变量为坐标变量x,y； 而因变量为函数，如位移，有 变分─是在同一点位置上，由于状态改变 而引起泛函的改变。 其中的自变量为状态函数，如位移； 而因变量为泛函，如 ， ， ，有 形变势能的变分，即实际应力在虚应变上的虚功, 由于实际应力在虚应变之前已存在, ∴作为常力计算，故无 系数。 证明如下： 最小势能原理： 数学表示如图(a)，物理意义如图(b) （5）位移变分方程的又一形式 ─式(l) 中 可化为 §5-6 位移变分法 ∴ u，v已满足了 上的位移边界条件。 而 ， 用来反映位移状态的变化， 故位移的变分为 2.伽辽金法 （1）设定位移试函数如式(a)所示，但令 u,v 不仅满足 上的位移边界条件， 而且也满足 上的应力边界条件 （用u,v表示）。 式( j )也是关于 ， 的线性代数方程 组，从上式解出 ， ，便得到位移的 解答。 试从位移函数的设定，应满足的变 分方程和求解的计算工作量等方面对瑞 利-里茨法和伽辽金法进行比较。 §5-7 位移变分法例题 例1 图示矩形板a×b，在上边及右边受有均布压力 及 ，而左边和下边受有法向连杆的约束。 应用瑞利-里茨法 ，设定位移 满足两个约束边界条件 例题 例题4 试证明，在同样的应变分量 ， 和 下，平面应变情况下单位厚度的形变 势能大于平面应力情况下的形变势能。 代入，得 显然，方括号内 将式⑴中的 ， 都作为式(b)的变换，整理后得平面应变情况下的形变势能公式，