弹性力学—平面问题基本理论.ppt

将式（c）代入用位移表示的平衡微分方程，若不计体力，就得到 于是，求解位移分量u,v的问题，就化为求解位移函数 的问题。 都是重调和函数，应满足重调和方程（d）。 求出位移函数u,v后，便可以得出位移和应力分量，并使它们分别满足位移或应力边界条件。 引用位移函数，同样可以使求解的方程得到简化，如式（d）所示。但位移的表达式（c）同样是假定的，只能用来求解某些问题，而不能代表任何问题的解都符合式（c）的假定，即不具有普遍性。 （四）平面问题的位移连续性条件─相容 方程的导出 这里仿照空间问题相容方程的导出，给出平面应变问题（w=0，只有u,v且仅为x,y的函数）中关于相容方程的导出和证明。 （1）位移函数u,v存在（有解），则必然连续，即具有连续性。 位移函数u,v具有连续性的充分必要条件是，其导数 a.必须存在；b.而且相容。 读者可检测，式（c）、（d）、（e）的一组应力已满足无体力，且q为常数情况下的平衡微分方程，相容方程，和应力边界条件（在x =0, l小边界上的剪力即为 的主矢量），因而是该问题之解。 2－1 是 2－2 是 2－3 按习题2－1分析。 2－4 按习题2－2分析。 2－5 在 的条件中，将出现二、三阶微量。当略去三阶微量后，得出的切应力互等定理完全相同。 习题答案与提示 2－6 同上题。在平面问题中，考虑到二 阶微量的精度时，所得出的平衡微 分方程都相同。其区别只是在三阶 微量（即更高阶微量）上，可以略 去不计。 2－7 应用的基本假定是：平衡微分方程 和几何方程─连续性和小变形，物 理方程─理想弹性体。 2－8 在大边界上，应分别列出两个精确 的边界条件；在小边界（即次要边 界）上，按照圣维南原理可列出三 个积分的近似边界条件来代替。 2－9 在小边界OA边上，对于图2－15 （a）、（b）问题的三个积分边界 条件相同，因此，这两个问题为静 力等效。 2－10 参见本章小结。 2－11 参见本章小结。 2－12 参见本章小结。 2－13 注意按应力求解时，在单连体中 应力分量 必须满足 （1）平衡微分方程， （2）相容方程， （3）应力边界条件（假设 ) 所以（a）和（b）问题中的应力虽然满足了平衡微分方程和应力边界条件，但都不满足相容方程，因而不是该两个问题之解。 2－14 见教科书。 2－15 见教科书。 2－16 见教科书。 2－17 取 它们均满足平衡微分方程，相容方程及x=0 和 的应力边界条件，因此，它们是该问题的正确解答。 2－18 见教科书。 2－19 提示：求出任一点的位移分量u 和v，及转动量w，再令x=y=0,便 可得出。 教学参考资料 （一）本章学习要求及重点 本章系统地介绍了平面问题的基本理论基本方程和边界条件，及两种基本解法。这些内容在弹性力学中具有典型性和代表性，因此，学好平面问题的基本理论，就可以方便地学习其他各章。为此，我们要求学生深入地理解本章的内容，掌握好以下几点： 1、两类平面问题的定义。 2、在平面区域内的平衡微分方程、几何方 程和物理方程的建立。 3、在平面边界上的位移和应力边界条件的 建立，及圣维南原理的应用。 4、按位移求解方法和按应力求解方法。 5、关于一点应力状态的分析。 为了牢固地理解和掌握平面问题的基本理论，要求学生做到: （1）清楚地了解上述有关问题的提出和分 析的方法； （2）自己动手推导公式，以加深理解； （3）对上述内容进行总结，掌握其要点。 有关数学知识可参考附录一。 （二）本章内容提要