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§2－1　平面应力问题和 平面应变问题 弹力空间问题共有应力、应变、位移15个未知函数 ，且均为 ； 有两类问题可以简化为平面问题。 从空间问题到平面问题 例如： §2－2　平衡微分方程 (3)求主应力 设某一斜面为主面，则有 由此建立方程，求主应力? 两种推导思路： 思路（1） 思路（2） 发生在与主应力成450的斜截面上 §2－4　几何方程　刚体位移 同理 2.当应变为常量时， 试求出对应的位移分量。 2.当应变为常量时， 试求出对应的位移分量。 平面应力物理方程→平面应变物理方程： 思考题 1.试证：由主应力可以求出主应变， 且两者方向一致。 2.试证：三个主应力均为压应力，有 时可以产生拉裂现象。 3.试证：在自重作用下，圆环（平面 应力问题）比圆筒（平面应变问题）的 变形大。 s? 例3 列出 的边界条件： 3、证明在凸角A点附近，当无面力作用时，其应力为零（思考题图中 (c)）。 圣维南原理的应用： 1、推广解答的应用； 2、简化小边界上的边界条件。 上式是函数方程，要求在边界上任一点，应力与面力数值相等，方向一致，往往难以满足。 精确的应力边界条件与积分的应力边界条件 方程个数 2 3 方程性质 函数方程（难满足） 代数方程（易满足） 精确性 精确 近似 适用边界 大、小边界 小边界 思考题 1、为什么在大边界（主要边界）上，不能 应用 圣维南原理？ 2、试列出负 面上积分的应力边界条件， 设有各种面力作用，或面力的主矢量和主矩作用。 §2－8　按位移求解平面问题 ⑵ 平面应力问题 归纳： 按位移求解时， 、 必须满足A内的方程(b)和边界条件(c)、(d)。 式(b)、(c)、(d)─是求解 、 的条件，也是校核 、 是否正确的全部条件。 按位移求解（位移法）的优缺点： 适用性广─可适用于任何边界条件。 求函数式解答困难，但在近似解法 （变分法、差分法、有限单元法）中有着广泛的应用。 例1 考虑两端固定的一维杆件。图(a)，只受重力作用， 。试用位移法求解。 §2－9按应力求解平面问题 §2－10　常体力情况下的简化　 例题 例2 厚度 的悬臂梁，受一端的集中力F的作 用。已求得其位移的解答是 试检查此组位移是否是图示问题的解答。 例3 试考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在 例4 在无体力情况下，试考虑下列应力分 量是否可能在弹性体中存在： （a）此组应力满足相容方程。为了满足平 衡微分方程，必须A=-F, D=-E 此外，还应满足应力边界条件。 （b）为了满足相容方程，其系数必须满足 A + B = 0。 为了满足平衡微分方程，其系数必须 满足 A = B =-C/2。 上两式是矛盾的，因此此组应力分量不 可能存在。 例5 若 是平面调和函数，即 满足拉普 拉斯方程 试证明函数 都满 足重调和方程， 因 而都可以作为应力函数使用。 例6 图中的梁，受到如图所示的荷载的作用，试用下列应力表达式求解其应力， 解：本题是按应力求解的，在应力法中，应力分量在单连体中必须满足 （1）平衡微分方程； （2）相容方程 ; （3）应力边界条件（在 上）。 将应力分量（a）代入平衡微分方程和相容方程，两者都能满足。 解：本题引用材料力学的弯应力 的解，作为初步的应力的假设，再按应力法求解。应力分量必须满足 （1）平衡微分方程； （2）相容方程； （3）应力边界条件（在 上）。 由此得