影 院 座 位 设 计my.doc

数 学 建 模 论 文 班级：实验1201 姓名：Schen 学号：2012013080 日期：2014/6/8 《影院座位设计问题》 摘 要 通过研究电影院的座位设计问题，根据观众对座位的满意程度主要取决于视角与仰角这一前提条件，建立满意程度最大的相关模型，并进行了相关求解。 问题一，首先建立在满足仰角条件（β≤30°）情况下的优化模型，运用Matlab软件求解出当地板线的倾角为10°时，最佳位置距离屏幕的水平距离为6.2275米。接着分别对视角α和仰角β赋权重，对座位进行离散分析，并引入满意度函数建立了离散加权模型，最后运用软件求解出当地板线的倾角为时，最佳位置距屏幕的水平距离为6.8635米。 问题二，根据问题一中的离散加权模型，将座位看作离散的点，建立满意度函数平均值模型，再利用软件解得，当地板线的倾角为时，所有观众的平均满意程度最大。 问题三，为进一步提高观众的满意程度，将地板线设计成折线形状，即相邻两排座位所在的点构成一条直线，且每排座位所在地板线的倾角以变化，增加到后保持不变，第一排抬高米。 关键词： 离散分析 加权 平均满意度 优化模型 Matlab 一、问题重述 下图-1为影院的剖面示意图，座位的满意程度主要取决于视角和仰角。视角是观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角，越大越好；仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，如果太大会使人的头部过分上仰，引起不舒适感，一般要求不超过。 记影院的屏幕高为，上边缘距离地面高为,影院的地板线通常与水平线有一个倾角，第一排和最后一排与屏幕水平距离分别为，观众的平均座高为（指眼睛到地面的距离），已知参数h=1.8m, H=5m, d=4.5m, D=19m, c=1.1m. (1) 地板线倾角＝，问最佳座位在什么地方。 (2) 求地板线倾角（一般不超过），使所有观众的平均满意程度最大。 (3) 地板线设计成什么形状可以进一步提高观众的满意程度。 图-1 影院剖面示意图 二、问题的分析 电影院座位的设计满足什么要求主要视角和仰角越大越好，而越小越好，最佳位置就是要在这两者之间找到一个契合点，使观众对两者的综合满意程度达到最大。 本文通过对水平视角和仰角取权重，建立适当的坐标系，从而建立一个线形型满意度函数。 针对问题一，已知地板线倾角，求最佳座位所在，即将问题转化求综合满意度函数的最大值，建立离散加权的函数模型并利用数学软件运算求解； 针对问题二，将所有观众视为离散的点，要使所有观众的平均满意程度达到最大，即将问题转化求满意度函数平均值的最大值。对此利用问题一所建立的满意度函数，将自变量转化为地板线倾角； 针对问题三，对地板线形状进行优化设计，使观众的平均满意程度可以进一步提高。 本文为使模型简化，更好地说明问题，文中将作以下假设。 三、模型假设 1.观众的平均满意度只取决于视角α和仰角β，其他因素忽略不计； 2.最后排座位的最高点不超过屏幕的上边缘； 3.相邻两排座位间的间距相等，取为0.8； 4.对于同一排座位，观众的满意程度相同； 5.所有观众的座位等高为平均座高； 6.影院的的地板成阶梯状。 四、符号说明 水平视角 视高差，即从眼睛到头顶的竖直距离 仰角 观众对水平视角为的满意程度 地板线与水平线的倾角 观众对仰角为的满意程度 第一排离屏幕水平距离 平均满意程度 最后一排离屏幕水平距离 视角、仰角在综合满意度中的权重 屏幕的高度 相邻两排座位间沿地板线方向的间距 屏幕上边缘离地面的高度 五、模型的建立与求解 5.1 问题一 每一个到影院看电影的观众都想坐在最佳位置，而对座位的满意程度主要取决于两个因素：水平视角和仰角，且视角是观众眼睛到屏幕上下边缘的视线的夹角，越大越好，仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，太大使人的头部过分上仰，引起不适，要求不超过。 5.1.1 模型Ⅰ的建立：仰角在满足条件的范围内,观众满意度只取决于视角 以第一排观众的眼睛为原点，建立平面直角坐标系，如图-2所示： 其中，为屏幕，为地板线，为所有的观众的眼睛所在的直线。则由图可设视觉线上任意一点的坐标为，屏幕上下点的坐标分别为，，的斜率记为,的斜率记为。 由斜率公式得： ， (1.1) 则直线和的斜率与夹角满足如下关系： (1.2) 仰角满足条件： 所以： (1.3) 由公式(1.1) (1.2)得到模