微分形式及其简单应用 2.doc

微分形式及其简单应用 摘要：在高等数学的学习中，数学分析是一门重要的基础课程，而微分形式是一块不可缺少的部分。本文通过对微分形式的相关定义及应用的探究，从而可以更加深入的了解微分形式及其简单的应用。 关键词：导出映射 外形式 微分形式 微分形式的简单应用 Differential form and its simple applications Abstract:In learning higher mathematics, the mathematical analysis is an important basic course, and differential form is an indispensable part. This article through to the related definition and application of differential form of exploration, in order to more deeply understand the differential form and simple application. Keywords:Induced function Exterior form Differential form The simple application of differential form 目 录 1.导出映射……………………………………………………………3 2.外形式………………………………………………………………5 3.微分形式……………………………………………………………9 4.微分形式的几个简单应用…………………………………………10 参考文献 1.导出映射 1.1导出映射的定义 设，均为Banach空间，为中的开集，映射：及,如果下列条件成立： 在点连续 存在一个线性映射:,使得， 则称在点可微，线性映射是在点的导出映射，记作：或。 事实上由导出映射的定义知满足条件的是唯一且连续的。连续性是由于在点连续，故当时，。由条件知，当时，，也就是是连续的。 设为也满足条件的线性映射，则 记，由于和都是线性的，因此也是线性的，且 ，其中为的范数。 由于： 及， 故推得。此表明唯一性得证。 如果在内每点都可微，就说在内可微，则称在内可微。如果还在内连续，则称在内连续可微或属于类的。 1.2 复合映射的导出映射 设均为Banach空间，为中的开集，为中的开集，及两个连续映射,如果在点可微，在点可微，则复合映射在点可微且。 事实上，若分别在点可微，则有 ，其中 ，其中 （再利用是线性映射，用在点可微的条件） 为表明在点可微，只需表明为的高阶无穷小即可。由于在点可微，故线性映射是连续的，进而有界。又由于：，有界，，故：，所以：。 1.3 或为几个Banach空间积情形的导出映射 (的情形 设，其中为中的开集，，为进一步得出的性质 定义标准投影，，其中，。 定义单射，，。 定义的映射、均为线性的，由1.1的定义知：；。 此外还有。由1.2导出映射的知识再根据， 其中，知若在点可微等价于在点也可微，且有： 。 (的情形 设为Banach空间，,为中的开集，, 称，其中为关于第i个坐标的偏映射，的导出映射记为：或。 下证明：。 ，其中是中所定义的单射，则根据1.2有。故。由知： ，再结合得：。 (的情形 设，为中的开集，故据的结果不难得到： ，其中： 2 外形式 2.1 张量 (设为上的线性空间，r为任意正整数，称r重线映射 ，为在上的阶张量，其中的重线性是指： ， 设均为上的阶张量，,如果议作用在任何自变量下均为零的张量为零张量，并按以下的法则定义“加法”和“数乘”。 。、 则定义在上的全体阶张量构成一线性空间，称为张量空间记为： (张量积 设，定义 易知满足下列运算规律： 类似地可以定义更多个张量的积： (阶张量空间的基及维数 设为的一组对偶基，则，其中可以取至中的任何数，故dim=. 证明：符号约定：若在一个式子中上下指标重复表示该指标从到重复求和，如间记为：。 第一步：证是线性无关集。 设，其中,0表示零张量，下证。 = = =， 其中 当1和时，结论得证。 第二步:证=. 设,，记=，则 == 故任何中的元素均可由线性表出。 2.2外形式 设为的置换群，，,记 ，定义Alt为Alt=， 定义算子Alt:其中，Alt为线性算子：这是由Alt = =Alt+Alt. Alt===Alt 可以看出来。 故A