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微分方程 第一章1.7 几种可降阶的高阶微分方程
1.7 几种可降阶的高阶方程
第二章 电路的过渡过程 2.3 一阶电路的零输入响应
一、 型的微分方程
二、 型的微分方程
三、 型的微分方程
一、
令
因此
即
同理可得
依次通过n 次积分, 可得含n个任意常数的通解 .
型的微分方程
例1.
解:
例2. 质量为 m 的质点受力F 的作用沿 ox 轴作直线
运动,
在开始时刻
随着时间的增大 , 此力 F 均匀地减
直到 t = T 时 F(T) = 0 .
如果开始时质点在原点,
解: 据题意有
t = 0 时
设力 F 仅是时间 t 的函数: F = F (t) .
小,
求质点的运动规律.
初初速度为0,
且
对方程两边积分, 得
利用初始条件
于是
两边再积分得
再利用
故所求质点运动规律为
型的微分方程
设
原方程化为一阶方程
设其通解为
则得
再一次积分, 得原方程的通解
二、
例3. 求解
解:
代入方程得
分离变量
积分得
利用
于是有
两端再积分得
利用
因此所求特解为
三、
型的微分方程
令
故方程化为
设其通解为
即得
分离变量后积分, 得原方程的通解
例5. 求解
代入方程得
两端积分得
(一阶线性齐次方程)
故所求通解为
解:
M : 地球质量
m : 物体质量
例6.
静止开始落向地面, 求它落到地面时的速度和所需时间
(不计空气阻力).
解: 如图所示选取坐标系.
则有定解问题:
代入方程得
积分得
一个离地面很高的物体, 受地球引力的作用由
两端积分得
因此有
注意“-”号
由于 y = R 时
由原方程可得
因此落到地面( y = R )时的速度和所需时间分别为
说明: 若此例改为如图所示的坐标系,
解方程可得
问: 此时开方根号前应取什么符号? 说明道理 .
则定解问题为
为曲边的曲边梯形面积
上述两直线与 x 轴围成的三角形面
例8.
二阶可导, 且
上任一点 P(x,y) 作该曲线的
切线及 x 轴的垂线,
区间[ 0, x ] 上以
解:
于是
在点 P(x, y) 处的切线倾角为 ,
满足的方程 .
积记为
为曲边的曲边梯形面积
上述两直线与 x 轴围成的三角形面
例8.
二阶可导, 且
上任一点 P(x,y) 作该曲线的
切线及 x 轴的垂线,
区间[ 0, x ] 上以
解:
于是
在点 P(x, y) 处的切线倾角为 ,
满足的方程 .
积记为
内容小结
可降阶微分方程的解法
—— 降阶法
逐次积分
令
令
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