微分及导数习题.ppt

例 解 两边取对数 例、设函数 由参数方程 所确定, 求 解 (1) 例 解 由题意 解 注 则 上式中 是函数 f 对括号中的中间 变量求导, ? 例 计算下列函数的导数： 奇函数的导数为偶函数；偶函数的导数为奇函数. 三、设 f(x), g(x) 可导，求下列函数的导数： 练 习 题 一、求下列函数的导数： 练 习 题 一、求下列函数的导数： 解答 解 三、设 f(x), g(x) 可导，求下列函数的导数： 解 例 解 切点为 例 解 例 解 求下列函数的导数： 解 答 解 例 解 例 解 (注意成立条件); 复合函数的求导法则 小结 不能遗漏); (对于复合函数, 反函数的求导法则 层的复合结构, 注意一层 函数的积、商求导法则 注意 记住基本初等函数的导数公式 高阶导数的定义; 莱布尼兹公式. 几个常用的基本初等函数的n阶导数公式(熟记); 隐函数求导法则 工具:复合函数链式法则; 对数求导法 对方程两边取对数，按隐函数的求导法则求导. 参数方程求导 注意:变量y是x的函数. 将方程两边对x求导. 工具:复合函数链式法则、反函数的求导法则. 导数 微分 导数与微分 表示函数在一点处由自变量所引起 的函数变化的快慢程度. 是函数在一点处由于自变量微小变化 所引起的改变量的近似值. 有着密切的联系. 第 三 节 微分 正方形金属薄片受热后面积的改变量. 1.问题的引出 实例 线性函数(linear function) 一、微分的概念 的线性(一次)函数, 很小时可忽略. 的高阶无穷小, 一定条件, 线性函数, 对一般函数 则无论在理论分析上还是在实际 则函数的增量 可以表示为 如果存在这样的 近似公式, 应用中都是十分重要的. 定义 2. 微分的定义 如果 则称函数 可微(differentiable), A为微分系数 记作 微分(differential), 并称 为函数 定理 证 必要性 3. 可微的充分必要条件 即有 满足什么条件的函数是可微的呢？ 微分的系数A如何确定呢? 微分与导数有何关系呢? 下面的定理回答了这些问题. 充分性 求导法又叫微分法 从而 其微分一定是 定理 即有 , ) ( 0 可微 在点 函数 x x f 从而 注 微分的实质 线性函数, 线性主部. 主部, 所以在 条件下, 导数称为微商 称为函数 的微分, 记作 称为自变量的 微分, 记作 注 例 解： 几何意义 (如图) 二、微分的几何意义 对应的增量, 增量时; 是曲线的纵坐标 就是切线纵坐标 求法 1. 基本微分公式 三、微分公式与运算法则 计算函数的导数, 乘以自变量的微分. 2.函数和、差、积、商的运算法则 例 解： 例 解： 结论 微分形式的不变性 3. 复合函数的微分法 此结论用于求复合函数的导数,有时能简化运算. 无论x 是自变量还是中间变量, 函数 的微分形式总是 例 解： 法一 用复合函数求导公式 法二 用微分形式不变性 在计算中也可以不写中间变量,直接利用微分形式不变性. 微分概念 微分的基本思想 微分的几何意义 微分公式与运算法则 小结 导数与微分的关系 就是切线纵坐标对应的增量 熟记微分公式、用一阶微分形式不变性求微分 以直代曲 1. 常数和基本初等函数的导数公式 常用高阶导数公式 例 解 习 题 课 解 例 取对数，得 解 求 函数的导数 例 例 解 设 f(x)二阶可导，求函数 二阶导数. 解 例 其中 在 附近有定义，且当 例 求 解 解 可导 不一定存在, 用定义 例 例 解 * *