微分方程建模理论.ppt

三、微分方程建模步骤 案例2 除雪问题 练习1 溶液混合问题： 设有一容器将有某种浓度的溶液以流量 注入浓 度为 的同样的溶液，假定溶液被立即搅匀，并 以 的流量流出，试建立容器中浓度与时间关系的 模型。 主讲人 张兰 专科组常见的微分方程模型： 2003年，C题：SARS的传播 常微分方程组或差分方程组 2004年，C题：饮酒驾车 线性常微分方程组 2011年，C题：企业退休职工养老金制度的改革 常微分方程，阻滞增长模型 实际问题需寻求某个变量y 随另一变量 t 的 变化规律 ：y=y(t). 直接求很困难 建立关于未知变量、 未知变量的导数以及 自变量的方程 建立变量能满足 的微分方程 ？ 哪一类问题 一、微分方程模型： 在工程实际问题中 “改变”、“变化”、“增加”、“减少”等关 键词提示我们注意什么量在变化. 关键词“速率”, “增长” ,“衰变” ,“边际的” , 常涉及到导数. 建立方法 常用微分方程 运用已知定律规律等 运用微元法 模拟近似法 机理分析法 * 二、建立微分方程模型的方法 （1）根据规律列方程 利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等找出变量及其导数之间的关系，来建立微分方程模型。 如，根据放射性元素衰减规律： 放射性元素的衰减速率与当时的剩余量成正比 * （2）微元分析法 利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。 * （3）模拟近似法 在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。 1、翻译或转化： 在实际问题中许多表示导数的常用词，如“速率”、‘增长” 等． 2、建立瞬时表达式： 根据自变量有微小改变△t时，因变量的增量△W，建立起在时段△t上的增量表达式，令△t →0，即得到 的表达式． 3、配备物理单位： 在建模中应注意每一顷采用同样的物理单位． 4、确定条件： 这些条件是关于系统在某一特定时刻或边界上的信息，它们独立于微分方程而成立，用以确定有关的常数。为了完整充分地给出问题的数学陈述，应将这些给定的条件和微分方程一起列出。 案例1 物体冷却问题 一个较热的物体置于室温为180c的房间内，该物体最初的温度是600c，3分钟以后降到500c .想知道它的温度降到300c 需要多少时间？10分钟以后它的温度是多少？ 四、建模方法简单举例 牛顿冷却（加热）定律：将温度为T的物体 放入处于常温 m 的介质中时，T的变化速率 正比于T与周围介质的温度差. 分析：假设房间足够大，放入温度较低或较 高的物体时，室内温度基本不受影响，即室温 分布均衡,保持为m，采用牛顿冷却定律是一个 相当好的近似. 建立模型：设物体在冷却过程中的温度为T(t)，t≥0， “T的变化速率正比于T与周围介质的温度差” 翻译为 数学语言 建立微分方程 其中参数k 0，m=18. 求得一般解为 ln(T－m)=－k t+c, 代入条件，求得c=42 ， , 最后得 T(t)=18+42 , t ≥0. 结果 ：T(10)=18+42 =25.870， 该物体温度降至300c 需要8.17分钟. 一场降雪开始于午前的某个时刻，并持续 到下午，雪量稳定。某人从正午开始清扫某条 街的人行道，他的铲雪速度（以ft3/h度量）和 清扫面的宽度均不变。到下午2点他扫了两个街 区，到下午4点他扫了一个街区。请问：雪是从 什么时候开始下的？（可假设他没有回头清扫 落在已扫过的路面上的雪） 1 1 示 意 图 下雪速度：a(单位)3/小时.面积 铲雪速度：b(单位)3/小时 S(t)： 正午后t小时的铲雪位移 下雪时间：午前x0 已知量：S(0)=0，S(2)=2，S(4)=3 翻译为 t到t+Δt时刻： （1）铲雪容量：b* Δt （2）忽略Δt下雪量，雪量减少容量： （3）微分表达式： （4）模型： 建立模型 解： 求解模型 许多研究对象在数量上常常表现出某种不变 的特性，如封闭区域内的能量、