微分方程建模资料.doc

微分方程方法建摸 在自然界及工程、经济、军事和社会等领域中，有许多问题都可以看成是实际对象的某些特性随时间（或空间）而演变的过程，这一过程可借助微分方程来描述。通过对微分方程的分析、求解来预测问题的未来性态，控制其发展趋势。微分方程模型的建立是利用机理分析法找问题的内在规律并列出方程，其特点是利用微元法，分析建立瞬时变化率的表达式，再根据所给的特定条件，确定解曲线。因此如何根据时间问题描述“变化率”是建立微分方程模型的关键。本章介绍了微分方程建摸所需要遵循的准则、微分方程建摸的基本方法、微分方程建摸的过程以及如何通过方程解去解释实际现象并接受检验。 建立微分方程模型，目的就是找到微分方程的一条解曲线。微分方程所反应的思想就是如果知道曲线上每一点处的导数以及它的起始点，那么就能够重新构造这样的解曲线。模型需要根据实际问题中表示“导数”的常用词及问题所遵循的规律“模式”来建立。下面先通过一个例子说明如何寻找“倒数”及“模式”。 例 某人的食量是10467J/d，其中5038J/d用于基本的新陈代谢（即自动消耗）。在健身训练中，他所消耗的热量大约是69J/（kg*d）乘以他的体重（kg）。假设以脂肪形式储藏的热量100%地有效，而1kg脂肪含热量41868J。试研究此人的体重随时间的变化的规律。 分析 本问题是找体重关于时间变量的函数，若将体重看成是时间t的连续可微函数，只要能找到体重满足的微分方程就可以求出这个函数。但题中并未出现“变化率”、“导数”这样的关键词，要想找到替代“导数”概念的陈述，利用微元法，看看问题中“每天”体重的变化是由什么因素引起的。由题意可知，“每天”体重变化应满足下面关系; 体重的变化=输入—输出， 输入=扣除基本的新陈代谢之后的净吸收量， 输出=进行健身训练时的消耗量 为考虑导数，将上述关系表示为更好的倒数意义的陈述，即连续函数的瞬时变化满足下面关系式： 体重的变化、天=净吸收量、天-运动消耗量、天， 其中 净吸收量、天=10467-5038=5429（J/d）, 运动消耗量/天=69 (J/kgd) (t)(kg), 体重的变化/天=（kg/d）, 在上述描述中，我们注意到，在等式两边的单位是不相匹配的，有些量是用重量单位形式(kg)给出，有些是用能量单位形式（J）给出，利用下面公式将两个单位换算成统一形式： 1kg/d= 建模 由上述分析，体重满足下面关系式 两边的物理单位量纲一致，令，整理得 若已知最初体重为，即，可解得 由上述表达可知。随着时间的变化，人的体重最终趋于一种平稳的值1300/1681.25,即时，平稳=81.25（）。 从上述例子叙述中，可归纳出常微分方程模型建立所应遵循的几个原则： 1）翻译，将研究的对象翻译成为时间变量的连续函数。 2)转化.在实际问题中，有许多与导数相对应的常用词，如“速率”、“增长”（在生物学、人口学问题研究中）、“衰变”（在放射性问题中）及“边际”(在经济学中)等，要注意对它们的利用。 3）模式。找出问题遵循的模式，大致可按下面两种方法： ①利用熟悉的力学、数学、物理及化学等学科中的已有规律，对某些实际问题直接列出微分方程； ②模拟近似法，在生物、经济等学科中，许多现象所满足的规律并不清楚，而且现象也相当复杂，但都可以遵循下面的模式 改变率=净变化率=输入率-输出率 4）建立瞬时表达式。微分方程是一个在任何时刻都必须正确的瞬时表达式。 由此根据寻找到的问题所遵循的模式，建立起在自变量时段上的函数的 增长量的表达式，令0，即得到的表达式。 5）单位。在建立的模型中，等式两端也采用同样的物理单位。 6）确定条件。这些是关于系统在某一特定时刻或边界上的信息，他们独立于微分方程而成立，用于确定有关的常数，为了完整，充分地给出问题陈述，应将这些给定的条件和微分方程一起给出。 增（减）肥的数学模型 肥胖已经成为公众日益关心的卫生健康问题，1999年世界卫生组织已正式宣布肥胖是一种疾病—肥胖症。 怎样从数量上来界定是否肥胖（给出一种标准）就变得很重要了，体重指数(BIM,BodyMass Index)测算法是近年来比较流行、临床上经常使用的，也是世界卫生组织（WHO）专家委员会经常使用的，也是世界卫生组织（WHO）专家委员会推荐的国际使用的肥胖分型标准参数，其计算公式为： 体重指数=实际体重（kg,即千克）除以米计身高的平方（m2）.或简单表述为 BMI=千克/=kg/. 按世界卫生组织1997年