微分方程模型2012.pptx

微分方程模型 常微分方程的基本方法 微分方程基础 微分方程是含有函数及其导数的方程。 如果方程(组)只含有一个自变量(通常是时间t)，则称为常微分方程。否则称为偏微分方程。 例：下面的方程都是微分方程： 微分方程的解是函数，对应一个变化过程常微分方程的解是随时间t变化的函数，比如一辆汽车在公路上飞驰，一个球从空中落下等。 偏微分方程不但描述物体随时间变化发生位置的改变，而且物体各部分之间的位置的相对变化。如水的流动，烟雾的扩散，公路上车流的涌动等。 微分方程解决的主要问题： (1)描述对象特征随时间(空间)的演变过程 (2)分析对象特征的变化规律 (3)预报对象特征的未来性态 (4)研究控制对象特征的手段 微分方程模型包括两个部分：方程和定解条件。 由于微分方程的求解需要借助微分的逆运算—积分，而积分出现任意常数，因此方程的解不唯一，需要附加条件将所求的解唯一确定下来。这样的条件称为定解条件。 常微分方程的定解条件：对一个m阶常微分方程，需要积分m次才能将解函数求出，因此需要m个定解条件。方程组的定解条件个数是每个方程定解条件个数之和。 定解问题分为初值问题和边值问题。 初值问题的定解条件在同一个点上，而边值问题的定解条件在不同点上。 导数的意义：瞬时变化率 在实际上我们遇到的描述变化的词有 速率(物理) 增长率(经济，生物，人口等) 衰变(原子反应) 边际的(经济) 瞬时变化率的描述： 绝对增加率：单位时间增加的量。 相对增加率：单位时间增加的百分比。 变化率= 增加率-减少率 由于是瞬时的，其量的关系只有在很短的时间间隔中才能够利用静态的方法分析。(微元法) 微分方程的建模方法： (1)利用导数的意义，建立含有导数的方程(微分方程)。 (2)微元法。 微分方程的稳定性理论： 对微分方程组 若f(x0)=0，则称x0是方程组的平衡点。 如果在平衡点x0处，f(x)的Jacobi矩阵 的所有特征值的实部都小于0，则x0是稳定的平衡点，如果存在某个特征值的实部大于0，则x0是不稳定的平衡点。 稳定的平衡点的实际意义： 如果微分方程存在稳定的平衡点，设x(t)是微分方程的解，则当t时， x(t)趋向于某个稳定的平衡点。 例：对Logistic方程， 它有两个平衡点 x=0和x=N。其中x=0是不稳定的平衡点，x=N是稳定的平衡点。 例1：某人的食量是2500卡/天。其中1200卡用于基本的新陈代谢。在健身训练中，他每公斤体重所消耗的热量大约是16卡/天。设以脂肪形式贮存的热量100%有效，且1公斤脂肪含热量10000卡，分析这个人体重的变化。 分析：问题研究人体重量随时间的变化w(t)。条件给出的是 热量单位时间的变化 2500-1200-16w(t) 转换成体重为 (2500-1200-16w(t))/10000 因此得到变化关系 常微分方程建模的物理方法 热传导： 牛顿冷却定律(加热定律)： 例：将一只读数为25度的温度计放在室外，10分钟后度数为30度，又过了10分钟，读数变为33度，问室外温度是多少？ 如果遇到我们不熟悉的问题时，应该怎么办？ 答案：不要回避，到网上查一下相关的概念你就会发现：这个不熟悉的问题可能是比较简单的! 分析：上网查一下热传导，我们可以了解到：热的传导从温度高的地方向温度低的地方传导，单位时间传送的热量与温差T成正比，与两个热源的距离成反比。即 对于两个固定热源，距离d是常数，则 在我们的问题中，室外温度可以看做常数T0，大于室内温度，而热量正比于温差，从而变化规律为 问题：现有4000毫升温度为10度的化学溶液，将一个体积40毫升温度为90度的玻璃球放在溶液中。求溶液温度的变化规律。(平均温度) 模型的解为 这里有三个参数，其中T0=25。还剩两个参数，利用剩下的两个条件可以确定。 动力学： 牛顿第二定律 能量守恒定律 欧拉-拉格朗日方程 空气和水的阻力 例1：求单摆的运动：摆长L，摆锤质量m的单摆的运动方程 (1)利用Newton定律 f=ma 得到 即 (2)利用能量方程建模。设=0的点为零势点 则 等式两边求导数则得到第一个方程。 例2：一只装满水的圆柱形桶，底半径3m，高6m。底部有一个直径0.02米的孔。 (1)水多长时间可以流光？ (2)如果孔在侧面，而桶放在距地面3m 的高