微分方程建模第二讲.ppt

微分方程的数值解 （一）常微分方程数值解的定义 在生产和科研中所处理的微分方程往往很复杂且大多得不出一般解。而在实际上对初值问题，一般是要求得到解在若干个点上满足规定精确度的近似值，或者得到一个满足精确度要求的便于计算的表达式。 因此，研究常微分方程的数值解法是十分必要的。 用Matlab软件求常微分方程的数值解 [t，x]=solver（’f’,ts,x0,options） ode45 ode23 ode113ode15sode23s 由待解方程写成的m-文件名 ts=[t0，tf]，t0、tf为自变量的初值和终值 函数的初值 ode23：组合的2/3阶龙格-库塔-芬尔格算法 ode45：运用组合的4/5阶龙格-库塔-芬尔格算法 自变量值 函数值 用于设定误差限(缺省时设定相对误差10-3, 绝对误差10-6), 命令为：options=odeset（’reltol’,rt,’abstol’,at）, rt，at：分别为设定的相对误差和绝对误差. 1、在解n个未知函数的方程组时，x0和x均为n维向量，m-文件中的待解方程组应以x的分量形式写成. 2、使用Matlab软件求数值解时，高阶微分方程必须等价地变换成一阶微分方程组. 注意: 例4 解: 令 y1=x，y2=y1’ 1、建立m-文件vdp1000.m如下： function dy=vdp1000(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=1000*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1); 2、取t0=0，tf=3000，输入命令： [T,Y]=ode15s(vdp1000,[0 3000],[2 0]); plot(T,Y(:,1),-) 解 1、建立m-文件rigid.m如下： function dy=rigid(t,y) dy=zeros(3,1); dy(1)=y(2)*y(3); dy(2)=-y(1)*y(3); dy(3)=-0.51*y(1)*y(2); 例5 2、取t0=0，tf=12，输入命令： [T,Y]=ode45(rigid,[0 12],[0 1 1]); plot(T,Y(:,1),-,T,Y(:,2),*,T,Y(:,3),+) * 五、热传导方程的导出 * 热量 t=t1 热源的生成量 t1≤ t ≤t2 ＋ ＝ 热量 t=t2 通过边界的流入量 t1≤ t ≤t2 － Q2 Q3 Q1 数学推导： * * * 由能量守恒律，得： * (1) (2) 或写为： 或写为： 当某个自然环境中只有一种生物的群体（生态学上称为种群）生存时，人们常用Logistic模型来描述这个群数量的演变过程，即 x（t）是种群在时刻t的数量， 是固有长率， N是环境资源容许的种群最大数量， =N是稳定平衡点，即t→∞时x(t)→N，从模型本身的意义看这是明显的结果。 二、种群竞争 当两个种群在同一自然环境中生存时，考察由于乙消耗同一种有限资源对甲的增长产生的影响 得到种群甲方增长的方程 类似地，甲的存在也影响了乙的增长，种群乙的方程应该是 稳定性分析 为了研究两个种群相互竞争的结局，即t→∞时 的趋向，不必要解方程（2）、（3）,只需对它的平衡点进行稳定性分析。首先根据微分方程（2）、（3）解代数方程组 得到4个平衡点： 因为仅当平衡点们于平面坐标系的第一象限时才有实际意义，所以对 而言要求 、 同时小于1，或同时大于1。 按照判断平衡点性的方法（见前面）计算 例3 试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型 解 假设在某一时刻 ,商品的价格为 ,它与该商品的均衡价格间有差别,此时,存在供需差,此供需差促使价格变动.对新的价格,又有新的供需差,如此不断调节,就构成市场价格形成的动态过程,假设价格 的变化率 与需求和供给之差成正比,并记 为需求函数, 为供给函数（ 为参数）,于是 其中 为商品在时刻 的价格, 为正常数. 若设 , ,则上式变为 ① 其中 均为正常数. 其解为 下面对所得结果进行讨论: （1）设 为静态均衡价格 ,则其应满足 即 于是得 从而价格函数 可写为 令 ,取极限得 这说明,市场价格逐步趋于均衡价格.又若初始价格 ,则动态价格就维持在均衡价格 整个动态过程就化为静态过程； 上, （2）由于 所以,当 时