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微分方程建模第二讲
微分方程的数值解 (一)常微分方程数值解的定义 在生产和科研中所处理的微分方程往往很复杂且大多得不出一般解。而在实际上对初值问题,一般是要求得到解在若干个点上满足规定精确度的近似值,或者得到一个满足精确度要求的便于计算的表达式。 因此,研究常微分方程的数值解法是十分必要的。 用Matlab软件求常微分方程的数值解 [t,x]=solver(’f’,ts,x0,options) ode45 ode23 ode113ode15sode23s 由待解方程写成的m-文件名 ts=[t0,tf],t0、tf为自变量的初值和终值 函数的初值 ode23:组合的2/3阶龙格-库塔-芬尔格算法 ode45:运用组合的4/5阶龙格-库塔-芬尔格算法 自变量值 函数值 用于设定误差限(缺省时设定相对误差10-3, 绝对误差10-6), 命令为:options=odeset(’reltol’,rt,’abstol’,at), rt,at:分别为设定的相对误差和绝对误差. 1、在解n个未知函数的方程组时,x0和x均为n维向量,m-文件中的待解方程组应以x的分量形式写成. 2、使用Matlab软件求数值解时,高阶微分方程必须等价地变换成一阶微分方程组. 注意: 例4 解: 令 y1=x,y2=y1’ 1、建立m-文件vdp1000.m如下: function dy=vdp1000(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=1000*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1); 2、取t0=0,tf=3000,输入命令: [T,Y]=ode15s(vdp1000,[0 3000],[2 0]); plot(T,Y(:,1),-) 解 1、建立m-文件rigid.m如下: function dy=rigid(t,y) dy=zeros(3,1); dy(1)=y(2)*y(3); dy(2)=-y(1)*y(3); dy(3)=-0.51*y(1)*y(2); 例5 2、取t0=0,tf=12,输入命令: [T,Y]=ode45(rigid,[0 12],[0 1 1]); plot(T,Y(:,1),-,T,Y(:,2),*,T,Y(:,3),+) * 五、热传导方程的导出 * 热量 t=t1 热源的生成量 t1≤ t ≤t2 + = 热量 t=t2 通过边界的流入量 t1≤ t ≤t2 - Q2 Q3 Q1 数学推导: * * * 由能量守恒律,得: * (1) (2) 或写为: 或写为: 当某个自然环境中只有一种生物的群体(生态学上称为种群)生存时,人们常用Logistic模型来描述这个群数量的演变过程,即 x(t)是种群在时刻t的数量, 是固有长率, N是环境资源容许的种群最大数量, =N是稳定平衡点,即t→∞时x(t)→N,从模型本身的意义看这是明显的结果。 二、种群竞争 当两个种群在同一自然环境中生存时,考察由于乙消耗同一种有限资源对甲的增长产生的影响 得到种群甲方增长的方程 类似地,甲的存在也影响了乙的增长,种群乙的方程应该是 稳定性分析 为了研究两个种群相互竞争的结局,即t→∞时 的趋向,不必要解方程(2)、(3),只需对它的平衡点进行稳定性分析。首先根据微分方程(2)、(3)解代数方程组 得到4个平衡点: 因为仅当平衡点们于平面坐标系的第一象限时才有实际意义,所以对 而言要求 、 同时小于1,或同时大于1。 按照判断平衡点性的方法(见前面)计算 例3 试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型 解 假设在某一时刻 ,商品的价格为 ,它与该商品的均衡价格间有差别,此时,存在供需差,此供需差促使价格变动.对新的价格,又有新的供需差,如此不断调节,就构成市场价格形成的动态过程,假设价格 的变化率 与需求和供给之差成正比,并记 为需求函数, 为供给函数( 为参数),于是 其中 为商品在时刻 的价格, 为正常数. 若设 , ,则上式变为 ① 其中 均为正常数. 其解为 下面对所得结果进行讨论: (1)设 为静态均衡价格 ,则其应满足 即 于是得 从而价格函数 可写为 令 ,取极限得 这说明,市场价格逐步趋于均衡价格.又若初始价格 ,则动态价格就维持在均衡价格 整个动态过程就化为静态过程; 上, (2)由于 所以,当 时
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