微分方程及其分类.ppt

于是 所以 方程(10.2.11)又可以进一步化为 这种类型的方程称为椭圆型方程．拉普拉斯(Laplace)方程、 泊松(Poisson)方程和Helmholtz 方程都属于这种类型． 综上所述，要判断二阶线性偏微分方程属于何种类型，只 需讨论判别式 即可. 10.3 二阶线性偏微分方程标准化 对于二阶线性偏微分方程 (10.3.1) 若判别式为 ，则二阶 线性偏微分方程分为三类： 时，方程称为双曲型; 时，方程称为抛物型; 时，方程称为椭圆型; 1.双曲型偏微分方程 因为双曲型方程对应的判别式 所以特征曲线是两族不同的实函数曲线， 设特征方程的解为 令 (10.3.2) 进行自变量变换，则原偏微分方程变为下列形式 (10.3.3) 上式称为双曲型偏微分方程的第一种标准形式，再作变量 代换，令 或 则偏微分方程又变为 (10.3.4) 上式称为双曲型偏微分方程的第二种形式． 注：上式中的“*”号不代表共轭，仅说明是另外的函数。如 与 是两个不同的函数。 2．抛物型偏微分方程 因为抛物型偏微分方程的判别式 线是一族实函数曲线． ，所以特征曲 其特征方程的解为 (10.3.5) 因此令 进行自变量变换，则原偏微分方程变为 (10.3.6) 上式称为抛物型偏微分方程的标准形式． 3.椭圆型偏微分方程 椭圆型偏微分方程的判别式 ，所以特征曲线是 一组共轭复变函数族．其特征方程的解为 (10.3.7) 若令 (10.3.8) 作自变量变换，则偏微分方程变为 (10.3.9) 上式称为椭圆型偏微分方程的标准形式． 10.4 二阶线性常系数偏微分方程的进一步化简 如果二阶偏微分方程的系数是常数，则标准形式的方程还可以进一步化简．下面按三种类型分别介绍化简的方法 1.双曲型 对于下列含常系数的第一种标准形式的双曲型标准方程还 可进一步化简 注：上式中用小写字母 代表常系数，以便与 我们不妨令 大写字母代表某函数区别开来, 例如 ．为了化简， 从而有 (10.4.2) 其中 由第二种标准形式的双曲型偏微分方程（含常系数）可以进 一步化简 (10.4.3) 式中 均为常系数．若令 则有 (10.4.4) (10.4.5) 其中 对于含常系数的抛物型偏微分标准方程（含常系数） （10.4.6） 还可以进一步化简．上式中小写字母 均为常系数． 为了化简，不妨令 从而有 (10.4.7) 2.抛物型 3.椭圆型 对于下列第一种标准形式的椭圆型标准方程(含常系数) (10.4.8) 还可以进一步进行化简．上式中小写字母的 为常系数． 为了化简，不妨令 从而有 (10.4.9) 其中 含有两个自变量的线性偏微分方程的一般形式也可以写成下 面的形式： 其中 L 是二阶线性偏微分算符，G是x,y的函数． 线性偏微分算符有以下两个基本特征： 10.5 线性偏微分方程解的特征 其中 均为常数．进一步有如下结论： 1.齐次的线性偏微分方程的解有以下特性： 为方程的解时，则 也为方程的解； (1).当 为方程的解，则 也是方程的解； (2)若 2.非齐次的线性偏微分方程的解具有如下特性： 为非齐次方程的特解， 为齐次方程的通解，则 为非齐次方程的通解； (1)若 (2) 若 则 3．线性偏微分方程的叠加原理 需要指出:线性偏微分方程具有一个非常重要的特性，称为叠 加原理，即若 是方程 （其中 L 是二阶线性偏微分算符）的解.如果级数 收敛，且二阶偏导数存在（其中 为任意常数），则 一定是方程 的解 程右端的级数是收敛的）． （当然要假定这个方 一、 微分方程的概念 二、二阶线性偏微分方程的分类 微分方程及其解法 函数是研究客观事物运动规律的一个重要工具，因此寻求客观事物运动变化过程中的函数关系是十分重要的，然而，在许多问题中，往往不能直接找出所需的函数关系。但根据问题所给的条件，有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式，这样的关系式就是所谓的微分方程。 解 为了便于阐述微分方程的有关概念，先看下面例子： 例1 一曲线通过点 ，且在该曲线上任一点 切线的斜率为 ，求这曲线的方程。 对上式两边积分有 由于所求曲线通过点 一、微分方程的概念 1.微分方程的定义 凡含有未知函数以及未知函数的导数（或微分）的方程叫微分方程。 例 2.微分方程的分类 3.微分方程的阶 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。 例2 判断下列方程是否为微分方程？若是，是几