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微分方程的基本概念、可分离变量、齐次方程
* 微分方程 第十二章 — 积分问题 — 微分方程问题 推广 第一节 微分方程的基本概念 求所满足的微分方程 . 例4. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q 解: 如图所示, 令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标 即 点 P(x, y) 处的法线方程为 且线段 PQ 被 y 轴平分, 第二节 可分离变量的微分方程 例3. 求微分方程 的通解. 解: 分离变量得 两边积分 得 即 ( c为任意常数 ) 或 说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形, 因此可能增、 减解. ( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 ) 初值问题 第三节 齐次方程 例1. 解微分方程 解: 代入原方程得 分离变量 两边积分 得 故原方程的通解为 ( 当 c = 0 时, y = 0 也是方程的解) ( c 为任意常数 ) 例2. 解微分方程 解: 则有 分离变量 积分得 代回原变量得通解 即 说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在 (c 为任意常数) 求解过程中丢失了. 内容小结 1. 微分方程的概念 微分方程; 定解条件; 2. 可分离变量方程的求解方法: 说明: 通解不一定是方程的全部解 . 有解 后者是通解 , 但不包含前一个解 . 例如, 方程 分离变量后积分; 根据定解条件定常数 . 解; 阶; 通解; 特解 y = – x 及 y = c *
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