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6.1 微分方程的基本概念 6.2 一阶微分方程 一. 可分离变量的微分方程 三. 一阶线性微分方程 四. 伯努里方程 小 结 6.3 可降阶的二阶微分方程 6.4 二阶线性微分方程 一. 二阶线性微分方程解的性质与通解的结构 二. 二阶常系数线性齐次方程的解法 三. 二阶常系数线性非齐次方程的解法 6.5 微分方程的应用举例 例4 用适当的变量代换解下列微分方程: 解 代入原方程，得 故 原方程的通解为 解 所求通解为 1、分离变量法步骤: 1）分离变量; 2）两端积分-------隐式通解. 2、齐次方程 3.线性非齐次方程 4.伯努里方程 解 解 例 3 解1 解2 例 4 解1 解2 故通解为 解3 两边积分,得 故通解为 二阶线性微分方程的一般形式 方程为齐次方程； 方程为非齐次方程 . n 阶线性微分方程 问题: 1.二阶齐次方程解的结构: 定理1 （齐次方程解的叠加原理） 证 代入方程（1） 的左端，得 证毕 定义 例如 线性无关. 线性相关, 定理2 证明略 推论 例如： 线性无关， 线性无关， 线性无关 . 定理3 （齐次线性方程通解结构） 证 2.二阶非齐次线性方程的解的结构: 定理4 （非齐次线性方程通解的结构） 证 定理5 （非齐次方程解的叠加原理） 证明略 二阶常系数线性齐次方程的标准形式 —— 特征根法 1* 特征方程有两个不相等的实根 2* 特征方程有两个相等的实根 此时，只得到方程 (1) 的一个特解 =0 =0 3* 特征方程有一对共轭复根 解 特征方程为 解得特征根 故所求通解为 例1 解 特征方程为 解得特征根 故所求通解为 例2 解 二阶常系数线性非齐次方程 对应齐次方程 非齐次方程通解结构 关键： 方法：待定系数法. * 第六章 微 分 方 程 6.1 微分方程的基本概念 6.2 一阶微分方程 6.3 可降阶的二阶微分方程 6.4 二阶线性微分方程 6.5 微分方程的应用举例 定义 例 偏微分方程 . 常微分方程. 微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最高 阶导数的阶数称之为微分方程的阶. 一阶微分方程: 高阶微分方程: 注意: 注意: 线性与非线性微分方程： 微分方程的解: 等式的函数称之为微分方程的解. 代入微分方程能使方程成为恒 微分方程的解的分类： (1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且独立任 意常数的个数与微分方程的阶数相同. (2)特解: 不包含任何任意常数的解. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题. 过定点的积分曲线; 一阶: 二阶: 过定点且在定点的切线 的斜率为定值的积分曲线. 初始条件: 用来确定任意常数的条件. 通解的图象: 微分方程的积分曲线族. 解的图象: 微分方程的积分曲线. 解 所求特解为 注意： 思考题解答 中不含任意常数, 故为微分方程的特解. 思考题 则称原微分方程为可分离变量的微分方程. 可分离变量的微分方程 解法： 称为所给可分离变量微分方程的隐函数形式的通解. 例1 求微分方程 解 分离变量 两端积分 例2 解 二. 齐 次 方 程 定义 的微分方程称为齐次方程 . 解法: 令 , 代入原方程，得 可分离变量的微分方程 . 例 3 求解微分方程 微分方程的解为 解 例 4 求解微分方程 解 微分方程的解为 一阶线性微分方程的标准形式: (1) 称为齐次方程 . (1) 称为非齐次方程. 例如 线性的; 非线性的. 1. 先求线性齐次方程 的通解： 一阶线性微分方程的解法 齐次方程的通解为 用分离变量法 2. 再求线性非齐次方程 的通解： 讨论 非齐次方程通解形式 与齐次方程通解 相比，不难看出： 只要在齐次方程的通解 中， 积分得 故一阶线性非齐次微分方程的通解为: 称为常数变易法 . 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法， 对应齐次方程通解 非齐次方程特解 解 例1 例2 如图所示，平行于 轴的动直线被曲线 与 截下的线段 之长数值上等于阴 影部分的面积, 求曲线 . 解 两边求导得 代入方程