微分方程的概念,可分离变量,齐次.ppt

* §6-1微分方程的基本概念 第六章 微分方程 解 一、问题的提出 解 代入条件后知 故 1.微分方程:及其阶的概念 含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.未知函数为一元函数的微分方程为常微分方程；未知函数为多元函数微分方程称为偏微分方程．本章只讨论常微分方程（简称微分方程）． 例 实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式. 二、微分方程的基本概念 分类1: 常微分方程, 偏微分方程. 微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称之. 一阶微分方程 高阶(n)微分方程 分类2: 微分方程的解: 任何代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解 微分方程的解的分类： 2、微分方程的解、特解与通解 (1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同. (2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解. 特解的图象: 微分方程的积分曲线. 通解的图象: 积分曲线族. 这就是微分方程的几何意义. 过定点的积分曲线; 一阶: 二阶: 过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题. 初始条件: 用来确定任意常数的条件. 解 例3 右边= 所求特解为 例4 解 中不含任意常数, 故为微分方程的特解. 一、可分离变量的微分方程 的方程叫可分离变量的微分方程. 解法 为微分方程的解. 这种解法叫分离变量法 §6-2 一阶微分方程 形如 1.分离变量: 2.两边积分 例1 求微分方程 解 分离变量 两端积分 注意: 解 这是可分离变量方程，分离变量得： 隐式通解 例2 两端积分 解 这是可分离变量方程，分离变量得： 例3 两端积分 解 这是可分离变量方程，分离变量得： 例4 两端积分 二、可以化为可分离变量的一阶方程 ——齐次方程 的微分方程称为齐次方程. 2.解法 作变量代换 代入原式： 可分离变量的方程 1.定义 例 1 求解微分方程 微分方程的解为 解 原方程可变为：