微分方程的数值解法-fem.ppt

线性无关，它们可组成试探函数空间的基，常称为节点基函数。 几何形状如图 a b 任一试探函数 可表示为 用这类插值型基函数，可以构造出适合各种边界条件的试探函数。 若借助前述放射变换 节点基函数可用变量?表示为 ① 直接形成有限元方程 (a) 把表达式 代入泛函； （4）从Ritz方法出发形成有限元方程 (b) 将泛函表达式中积分区间[a,b]变到[0,1]； (c) 由 达到极小值的条件 得到含 的有限元方程 这儿 (d) 解出有限元方程的数值解 ，就得到使二次泛函取极小的近似函数(有限元解) 有限元方程可用矩阵表示为 其中 称为总刚矩阵。 工程中形成有限元方程时，通常先在每个单元上形成单元矩阵（称为单元刚度矩阵），然后由单元刚度矩阵形成总刚度矩阵（称为总体合成）。 ② 用单元刚度分析形成有限元方程 (a) 把 按单元组织，则在第i个单元上，令 其中 称为单元刚度矩阵。各元素可计算得到。 再把 扩展成n?n矩阵，使其第i?1行、第i行和第i?1列、第i列交叉位置的元素就是单元刚度矩阵的四个元素，其余全为零（ 只是第一行，第一列元素非零）。即 记 则 其中 称为总刚矩阵。 (b) 由 达到极小值的条件 (c) 解出有限元方程的数值解 ，就得到使二次泛函取极小的近似函数(有限元解) 得到有限元方程 。 （5）从Galerkin方法出发形成有限元方程 把表达式 代入变分方程 对前面的两点边值问题，变分方程变为 其中 与Ritz方法相比， Galerkin方法形成的有限元方程其系数矩阵就是总刚矩阵。 该方程即为Galerkin法形成的有限元方程。 由Galerkin方法推导有限元方程更加方便直接，且适用面广。 若希望在每个单元上提高逼近的精确度，则可通过提高插值多项式次数来实现， 在单元 上可构造一、二、三及高次插值多项式，其方法有两种： 2 一维问题的高次元 整个问题计算的全过程除分析单元插值外，均与前面框架类似。 ① Lagrange型：在单元内部增加一些插值节点。 ② Hermite型：在节点引进一阶、二阶乃至更高阶导数。 ① 线性元(Lagrange型) 要求：在每一个单元上是一次多项式，在单元节点处连续。 插值条件：在单元的两个端点取指定值。 ② 二次元 (Lagrange型) 要求：在每一个单元上是二次多项式，在单元节点处连续。 插值条件：在单元的两个端点及单元中点取指定值。 ③ 三次元（Hermite型） 要求：在每一个单元上是三次多项式，在单元节点处连续。 插值条件：在两个端点取指定的函数值和一阶导数值。 采用高次元，有限元方程形成的方法和线性元类似，但工作量增加。一是计算积分的复杂性增加，二是矩阵的带宽增加。 高次元的主要优点是收敛阶高，且提高了函数逼近的光滑性。 假定区域G可以分割成有限个矩形的和，且每个小矩形（单元）的边和坐标轴平行。 3 二维问题的矩形元 通过仿射变换 采用矩形剖分后，任一个矩形 总可变成单位正方形 如果在 　上造出单元形状函数，就可得到试探函数 。而　 上的形状函数可通过先在　 上造出形状函数，再通过仿射变化而得到。 在　　上构造形状函数，也采用Lagrange型和Hermite型插值。 Lagrange型：根据若干插值节点处的函数值决定插值函数。 Hermite型：根据若干插值节点处的函数值、一阶偏导数乃至更高阶偏导数决定插值函数。 （1）Lagrange型公式 ① 双一次插值 插值条件：给定　 顶点上的函数值　　　　　　　 求：双线性函数 满足 设 令 由 为双线性函数，可求得 令 则 通过仿射变换消去?、? ，就得到 上的形状函数。把这些函数按单元叠加，即对所有单元求和，就得到G上的试探函数。 实际计算时，并不消去中间变量?、? ，因为计算刚度矩