微积分 5.3 基本积分法.ppt

§5.3 基本积分法 二、第二类换元法 三、分部积分法 * * 一、凑微分法 例 计算 分析: 如果能把被积表达式改变一下, 使得被积函数的变量与 积分变量变得相同, 那么就可用公式 求出此不定积分. (u是x的函数) 不同！ 注: 这种方法的实质是当被积函数为复合函数时,可采用 恒等变形将原来的微分dx凑成新的微分d?(x) (可不必换元), 使原积分变成一个可直接用积分公式来计算. 这种方法称为凑微分法. 其理论依据为 定理4 注：定理4中,若u为自变量时,当然有 当u 换为?(x)时, 就有 成立. ——不定积分的这一性质称为积分形式的不变性. 2、步骤：凑微分法的关键是“凑”, “凑”的目的是把不易计算的 不定积分化为容易用“直接计算法”计算或查表计算的不定积分： 成立; 证： （第3、4步可以省略） 1、公式： 常见的凑微分公式： 例8 求下列各式的不定积分 结论1: 例9 求下列各式的不定积分 结论2: 同理可得 例10 求下列各式的不定积分 结论3: 注：若被积函数的一部分?(x)的导数是另一个因子 （位于分子）， 则可以这样凑微分： 或原式 同理可得 例11 求下列各式的不定积分 同理可得 结论4: 一般地, 对形如 这样的不定积分 当n为偶数时应先降次后再积分；当n为奇数时应先凑微分再积分； 一般地,对形如 这样的不定积分 若n≠m，且一奇一偶时，则应凑奇次幂的三角函数； 若同为偶，则化为 对形如这样的不定积分应先积化和差后再积分. 则化为 来积分 注:对于同一个不定积分,采用的方法不同,有时得到的原函数 的表达式就完全不同,但这些不同的表达式之间仅相差一个 常数.如 法一: 法二: 法三: 例12 (1) 设函数?(x)的一个原函数是arctanx,求不定积分 解 由题意知 则 (2) 若己知 , 求： 课堂练习: 求下列各式 注:用直接积分和凑微分法是不易计算此积分的.但作变换 定理5 设函数?(x)连续, x=?(t)单调且有连续的导函数 ,而 证明 即 则 1、公式 注1 换元积分法是先换元,再积分,最后回代.这与凑微分法 (先凑后换元)不一样。重点不同，目标相同。 注2 求解步骤为： 2、注意 3、常用换元公式： （1）.被积函数含有 的因子时,可令 化简函数后再积分. 例14 求下列各式 （2）.被积函数含有 的因子时, 可作三角变换,利用三角函数恒等式使二次根式有理化. ?t a x 例15 求下列各式 ?t a x 如图 ?t a x （3）.倒代换 ——当被积函数的分母的次数与分子的次数之差大于1时,利用倒代换可消去被积函数分母中的变量因子x. 例16 求 例17 求 法一: 三角代换令 法二: 根式代换令 法三:凑微分法,原式= 原式= ?t x 1 法四: 倒代换令 注：通过上述几种积分方法的学习,可将以下几个公式补充在基本积分表里： 定理5 设函数u=u(x)及v=v(x)具有连续的导数,则 直接积分和换元积分法可以解决大量的不定积分的计算问 题;但对形如 等类型的不定积分, 采用这两种方法却无法.换元积分法是在复合函数求导法则 的基础上得到的,下面利用两个函数乘积的求导法则来推得 分部积分法. 证 由 d(uv)=vdu+udv, 得 udv= d(uv)–vdu , 对此式两边同时求不定积分, 得 1、公式