微积分7_3全微分.ppt

当函数可微时 : 例3. 有一圆柱体受压后发生形变, 4. 设 * 目录 上页 下页 返回 结束 第九章 *二、全微分在近似计算中的应用 应用 第三节 一元函数 y = f (x) 的微分 近似计算 估计误差 本节内容: 一、全微分的定义 全微分 一、全微分的定义 定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y ) 可表示成 其中 A , B 不依赖于? x , ? y , 仅与 x , y 有关， 称为函数 在点 (x, y) 的全微分, 记作 若函数在域 D 内各点都可微, 则称函数 f ( x, y ) 在点( x, y) 可微， 处全增量 则称此函数在D 内可微. (2) 偏导数连续 下面两个定理给出了可微与偏导数的关系: (1) 函数可微 函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微 得 函数在该点连续 偏导数存在 函数可微 即 定理1(必要条件) 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 , 则该函数在该点的偏导数 同样可证 证:因函数在点(x, y) 可微, 故 必存在,且有 得到对 x 的偏增量 因此有 反例: 函数 易知 但 因此,函数在点 (0,0) 不可微 . 注意: 定理1 的逆定理不成立 . 偏导数存在函数 不一定可微 ! 即: 定理2 (充分条件) 证： 若函数 的偏导数 则函数在该点可微分. 所以函数 在点 可微. 注意到 , 故有 推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题. 例如, 三元函数 习惯上把自变量的增量用微分表示, 记作 故有下述叠加原理 称为偏微分. 的全微分为 于是 例1. 计算函数 在点 (2,1) 处的全微分. 解: 例2. 计算函数 的全微分. 解: 可知当 *二、全微分在近似计算中的应用 1. 近似计算 由全微分定义 较小时, 及 有近似等式: (可用于误差分析或近似计算) (可用于近似计算) 半径由 20cm 增大 解: 已知 即受压后圆柱体体积减少了 到 20.05cm , 则 高度由100cm 减少到 99cm , 体积的近似改变量. 求此圆柱体 例4.计算 的近似值. 解: 设 ,则 取 则 分别表示 x , y , z 的绝对误差界, 2. 误差估计 利用 令 z 的绝对误差界约为 z 的相对误差界约为 则 特别注意 类似可以推广到三元及三元以上的情形. 乘除后的结果相对误差变大 很小的数不能做除数 例5. 利用公式 求计算面积时的绝对误差与相对误差. 解： 故绝对误差约为 又 所以 S 的相对误差约为 计算三角形面积.现测得 例6.在直流电路中, 测得电压 U = 24 V , 解: 由欧姆定律可知 ( ? ) 所以 R 的相对误差约为 0.3 ? + 0.5 ? R 的绝对误差约为 0.8 ? 0.3?; 定律计算电阻为 R 时产生的相对误差和绝对误差 . 相对误差为 测得电流 I = 6A, 相对误差为 0.5 ? , = 0.032 ( ? ) = 0.8 ? 求用欧姆 内容小结 1. 微分定义: 2. 重要关系: 函数可导 函数可微 偏导数连续 函数连续 定义 3. 微分应用 ? 近似计算 ? 估计误差 绝对误差 相对误差 思考与练习 函数 在 可微的充分条件是( ) 的某邻域内存在 ; 时是无穷小量 ; 时是无穷小量 . 2. 选择题 解: 利用轮换对称性 , 可得 注意: x , y , z 具有 轮换对称性