微积分下 第二章 二重积分.ppt

第一节 一、引例 2. 平面薄片的质量 二、二重积分的定义及可积性 三、二重积分的性质 例3. 估计下列积分之值 8.设函数 四、曲顶柱体体积的计算 思考与练习 2.设D 是第二象限的一个有界闭域, 且 0 y 1, 则 4.证明: 2. 判断积分 * 一元函数积分学 多元函数积分学 重积分 曲线积分 曲面积分 第六章 多元数量值函数积分学 三、二重积分的性质 一、引例 二、二重积分的定义与可积性 四、曲顶柱体体积的计算 二重积分的概念与性质 解法: 类似定积分解决问题的思想: 1.曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体: 底 xoy 面上的闭区域 D 顶: 连续曲面 侧面：以D的边界为准线 ,母线平行于z轴的柱面 求其体积. 或“分割,代替,求和,取极限” 机动 目录 上页 下页 返回 结束 “大化小,常代变,近似和,求极限” 1)“大化小” 用任意曲线网分D为 n 个区域 以它们为底把曲顶柱体分为 n 个 2)“常代变” 在每个 3)“近似和” 则 中任取一点 小曲顶柱体（即分割） 机动 目录 上页 下页 返回 结束 （即近似代替） （即求和） 4)“取极限” 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束 有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D , 计算该薄片的质量 M . 度为 设D 的面积为? , 则 若 非常数 , 仍可用 其面密 “大化小, 常代变,近似和, 求 极限” 解决. 1)“大化小” 用任意曲线网分D 为 n 个小区域 相应把薄片也分为小区域 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2)“常代变” 中任取一点 3)“近似和” 4)“取极限” 则第 k 小块的质量 机动 目录 上页 下页 返回 结束 两个问题的共性： (1) 解决问题的步骤相同 (2) 所求量的结构式相同 “大化小, 常代变, 近似和,取极限” 曲顶柱体体积: 平面薄片的质量: 定义: 将区域 D 任意分成 n 个小区域 任取一点 若存在一个常数 I , 使 可积 , 在D上的二重积分. 积分和 积分域 被积函数 积分表达式 面积元素 记作 是定义在有界区域 D上的有界函数 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 引例1中曲顶柱体体积: 引例2中平面薄板的质量: 如果 在D上可积, 也常 二重积分记作 这时 分区域D , 因此面积元素 可用平行坐标轴的直线来划 记作 问题： 1. 存在性？ 2. 性质？ 3. 计算？ 若函数 定理1. 在 D上可积. 在有界闭区域 D上连续, 则 (证明略) ( k 为常数) ? 为D 的面积, 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 特别,由于 则 5. 若在D上 6.设 D 的面积为? , 则有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 7.(二重积分中值定理) 证: 由性质6 可知, 由连续函数介值定理,至少有一点 在闭区域D上 ? 为D的面积, 则至少存在一点 使 使 连续, 因此 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1.判断 的正负. 解： 当 时， 故 又当 时， 于是 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 例2 比较积分 与 的大小, 其中D是三角形闭区域, 三顶点各为 (1,0),(1,1), (2,0). 三角形斜边方程 在D内有 于是 解: D的面积为 由于 积分性质5 即: 1.96 ? I ? 2 D 机动 目录 上页 下页 返回 结束 D位于x 轴上方的部分为D1 , 当区域关于y轴对称, 函数关于变量x有奇偶性时,仍 在D上 在闭区域上连续, 域D关于x轴对称, 则 则 有类似结果. 在第一象限部分,则有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设曲顶柱的底为 任取 平面 故曲顶柱体体积为 截面积为 截柱体的 机动 目录 上页 下页 返回 结束 同样, 曲顶柱的底为 则其体积可按如下两次积分计算 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4.求两个底圆半径为R直角圆柱面所围的体积. 解: 设两个直圆柱方程为 利用对称性, 考虑第一卦限部分, 其曲顶柱体的顶为 则所求体积为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 1. 二重积分的定义 2. 二重积分的性质 (与定积分性质相似) 3. 曲顶柱体体积的计算 二次积分法 机动 目录 上页 下页