微积分(A)第四章 第二节 可分离变量的微分方程.ppt

第二节 可分离变量的微分方程 例1. 求微分方程 例2. 解初值问题 例3. 内容小结 思考与练习 补充题: 1. * 可分离变量的微分方程. 解法 为微分方程的通解. 的通解. 解: 分离变量得 两边积分 得 即 ( C 为任意常数 ) 或 说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形, 因此可能增、 减解. ( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 ) 解: 分离变量得 两边积分得 即 由初始条件得 C = 1, ( C 为任意常数 ) 故所求特解为 子的含量 M 成正比, 求在 衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律. 解: 根据题意, 有 (初始条件) 分离变量, 即 利用初始条件, 得 故所求铀的变化规律为 然后积分: 已知 t = 0 时铀的含量为 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原 可分离变量方程的求解方法: 分离变量后积分; 根据定解条件定常数 . 求下列方程的通解 : 提示: (1) 分离变量 (2) 方程变形为 度成正比, 解: 根据牛顿第二定律列方程 初始条件为 分离变量, 然后积分 : 得 利用初始条件, 得 代入上式后化简, 得特解 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速 求降落伞下落速度与时间的函数关系. t 足够大时 2. 有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小孔流出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律. 说明: 由力学知识得,水从孔口流出的流量为 流量系数 孔口截面面积 重力加速度 设在微小的时间间隔 水面的高度由h降至 , 比较(1)和(2)得: 解 所求规律为 解 3. 某车间容积为12000立方米, 开始时空气中含有 的 , 为了降低车间内空气中 的含量, 用一台风量为每分钟2000立方米的鼓风机通入含 的 的新鲜空气, 同时以同样的风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动6分钟后, 车间内 的百分比降低到多少? 设鼓风机开动后 时刻 的含量为 则在 内, 的通入量 的排出量 的通入量 的排出量 的改变量 6分钟后, 车间内 的百分比降低到