微积分下册1-8二次曲面 张齐.ppt

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微积分下册1-8二次曲面 张齐

二次曲面的定义: 三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面. 相应地平面被称为一次曲面. 讨论二次曲面性状的截痕法: 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截,考察其交线(即截痕)的形状,然后加以综合,从而了解曲面的全貌. 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面. 1.8 二次曲面 一、基本内容 (一)椭球面 椭球面与三个坐标面的交线: 椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化. 椭球面与平面 的交线为椭圆 同理与平面 和 的交线也是椭圆. 椭球面的几种特殊情况: 旋转椭球面 由椭圆 绕 轴旋转而成. 旋转椭球面与椭球面的区别: 方程可写为 与平面 的交线为圆. 球面 截面上圆的方程 方程可写为 (二)抛物面 ( 与 同号) 椭圆抛物面 用截痕法讨论: (1)用坐标面 与曲面相截 截得一点,即坐标原点 设 原点也叫椭圆抛物面的顶点. 与平面 的交线为椭圆. 当 变动时,这种椭圆的中心都在 轴上. 与平面 不相交. (2)用坐标面 与曲面相截 截得抛物线 与平面 的交线为抛物线. 它的轴平行于 轴 顶点 (3)用坐标面 , 与曲面相截 均可得抛物线. 同理当 时可类似讨论. z x y o x y z o 椭圆抛物面的图形如下: 特殊地:当 时,方程变为 旋转抛物面 (由 面上的抛物线 绕它的轴旋转而成的) 与平面 的交线为圆. 当 变动时,这种圆的中心都在 轴上. ( 与 同号) 双曲抛物面(马鞍面) 用截痕法讨论: 设 图形如下: x y z o (三)双曲面 单叶双曲面 (1)用坐标面 与曲面相截 截得中心在原点 的椭圆. 与平面 的交线为椭圆. 当 变动时,这种椭圆的中心都在 轴上. (2)用坐标面 与曲面相截 截得中心在原点的双曲线. 实轴与 轴相合,虚轴与 轴相合. 双曲线的中心都在 轴上. 与平面 的交线为双曲线. 实轴与 轴平行, 虚轴与 轴平行. 实轴与 轴平行, 虚轴与 轴平行. 截痕为一对相交于点 的直线. 截痕为一对相交于点 的直线. (3)用坐标面 , 与曲面相截 均可得双曲线. 单叶双曲面图形 x y o z 平面 的截痕是两对相交直线. 双叶双曲面 x y o 椭球面、抛物面、双曲面、截痕法. (熟知这几个常见曲面的特性) 二、小结 思考题 方程 表示怎样的曲线? 思考题解答 表示双曲线. 练 习 题 练习题答案 二、 三、

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