微积分下第一分册7.1常数项级数概念性质.ppt

第七章 第一节 定义： 例1. 讨论等比级数 例2. 判别下列级数的敛散性: 二、无穷级数的基本性质 性质2. 设有两个收敛级数 性质3. 性质4. 例5.判断级数的敛散性: 三、级数收敛的必要条件 注意: * * 无穷级数 无穷级数 无穷级数是研究函数的工具 表示函数 研究性质 数值计算 常数项级数 幂级数 常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件 给定一个数列 将各项依 即 称上式为无穷级数， 其中第 n 项 叫做级数的一般项, 级数的前 n 项和 称为级数的部分和. 次相加, 简记为 一、常数项级数的概念 收敛 , 则称无穷级数 并称 S 为级数的和, 记作 则称无穷级数发散 . (又称几何级数) ( q 称为公比 ) 的敛散性. 解: 1) 若 从而 因此级数收敛 , 从而 则部分和 因此级数发散 . 其和为 2). 若 因此级数发散 ; 因此 n 为奇数 n 为偶数 从而 综合 1)、2)可知, 时, 等比级数收敛 ; 时, 等比级数发散 . 则 级数成为 不存在 , 因此级数发散. 解: (1) 所以级数 (1) 发散 ; 技巧: 利用 “拆项相消” 求和 (2) 所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 . 技巧: 利用 “拆项相消” 求和 例3. 判别调和级数 的敛散性: 解： 114页(4.5)式 由拉格朗日中值定理， 所以调和级数 发散。 例4. 判别级数 的敛散性: 解: 所以级数 发散。 性质1. 若级数 收敛于 S , 则各项 乘以常数 c 所得级数 也收敛 , 证: 令 则 这说明 收敛 , 其和为 c S . 说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 . 即 其和为 c S . 则级数 也收敛, 其和为 证: 令 则 这说明级数 也收敛, 其和为 说明: (1) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则 必发散 . (2)但若二级数都发散 , 不一定发散. 例如, (用反证法可证) 在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级数 的敛散性. 证: 将级数 的前 k 项去掉, 的部分和为 数敛散性相同. 当级数收敛时, 其和的关系为 极限状况相同, 故新旧两级 所得新级数 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数 的和. 推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散. 注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛. 但 发散. 例如， 用反证法可证 解: 考虑加括号后的级数 发散 , 从而原级数发散 . 设收敛级数 则必有 证: 可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 . 例如, 其一般项为 不趋于0, 因此这个级数发散.