微积分下8-1-2.ppt

二、微分方程的定义 三、中心问题----求方程的解 §8-2 一阶微分方程的解法 例题 * 解 §8-1 微分方程的基本概念 解 代入初始条件知: 故 开始制动到列车完全停住共需 列车在这段时间内行驶了 通解 特解 初始条件 微分方程: 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程. 例 实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式. 常微分方程 偏微分方程. 微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数. 一阶微分方程 高阶(n)微分方程 分类1: 分类2: 线性与非线性微分方程. 分类3: 单个微分方程与微分方程组. 微分方程的解: 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数. 微分方程的解的分类： (1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同. (2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解. 初始条件: 用来确定任意常数的条件. 思考题 思考题解答 中不含任意常数, 故为微分方程的特解. 可分离变量的微分方程. 解法 为微分方程的通解. 分离变量法 可分离变量的微分方程 例1 求解微分方程 解 分离变量 两端积分 又 两端积分 解 由题设条件 衰变规律 小船从河边 处 点 0 出发驶向对岸 ( 两岸为平行直线 ). 设 a 船速为 , 船行方向始终与河岸垂直 , 设河宽 h 为 , 河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离 的乘积成正比 ( 比例 k 系数为 ). 求小船的航行路 线 . 练习 答案：取 0 为原点 , 河岸朝顺水方向为 轴 x , 轴 y 指向对 岸 , 则所求航线为 ) 3 1 2 ( 3 2 y y h a k x - = . 的微分方程称为齐次方程. 2.解法 作变量代换 代入原式 可分离变量的方程 1.定义 齐次方程 例 1 求解微分方程 微分方程的解为 解 例 2 求解微分方程 解 微分方程的解为 练 习 题 练习题答案 一阶线性微分方程的标准形式: 上方程称为一阶线性齐次方程. 上方程称为一阶线性非齐次方程. 例如 线性的; 非线性的. 一阶线性微分方程 齐次方程的通解为 1. 线性齐次方程 一阶线性微分方程的解法 (使用分离变量法) 2. 线性非齐次方程 讨论: 设y=f(x)是解, 则 积分 非齐方程通解形式 常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. 设解为 积分得 非齐方程通解 一阶线性非齐次微分方程的通解为: 对应齐次方程通解 非齐次方程特解 * *