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微积分期中复习 第一章 函数与极限 一、函数 1、数轴、区间、领域 2、函数的概念：设有两个变量和，如果当某非空集合内任取一个数值时， 变量按照一定的法则(对应规律)，都有唯一确定的值与之对应，则称是的函数。记作，其中变量称为自变量，它的取值范围称为函数的定义域；变量称为因变量，它的取值范围是函数的值域，记作，即。 函数的表示：函数的表示有三种。 公式法、表格法和图示法。 3、函数的几种特性 函数的有界性、奇偶性、单调性和周期性。 4、初等函数 (1) 基本初等函数 ① 幂函数：(为任意实数)， ， ② 指数函数：(且) ③ 对数函数：(且)。 恒等式： 换底公式： 运算的性质：，。 ④ 三角函数：。 ⑤ 反三角函数：。 (2) 反函数： (3) 复合函数： 5、常见的经济函数 (1) 成本函数、收益函数和利润函数 ， ，。 (2) 需求函数与供给函数 二、极限的概念与性质 1、数列的极限 (1) 数列 (2) 数列极限的定义 (3) 数列极限的几何意义 2、函数的极限 (1) 当自变量时函数的极限 (2) 当自变量时函数的极限 (3) 左右极限 3、函数极限的主要性质 极限的唯一性、局部有界性、局部保号性。 三、极限的运算 1、极限的运算法则 2、两个重要极限 (1) 极限存在的准则 数列极限的夹挤定理、函数极限的夹挤定理和单调有界数列必有极限。 (2) 两个重要极限 。 3、无穷小量和无穷大量 (1) 无穷小量的定义 (2) 无穷小量的性质 ① 有限个无穷小量的和、差、积仍然为无穷小量； ② 有界函数与无穷小量的乘积仍为无穷小量。 (3) 无穷小量的比较 高阶无穷小、同阶无穷小和等价无穷小 无穷小量的替换 四、函数的连续性 1、函数连续的概念 (1) 函数在一点处连续的定义 设函数在点的某领域内有定义，如果，则称函数在点处连续。 函数在点处连续必须满足下列3个条件： 在点有定义，即有确定的函数值； ② 极限存在，即左右极限，存在且相等。 ③ ()，即极限值等于函数值。 (2) 函数在区间上连续的定义 函数在内每一点连续，称在闭区间内连续。 函数在内每一点连续，且在右连续，在点作连续，则称在闭区间上连续。 2、连续函数的运算与初等函数的连续性 (1) 连续函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为连续函数； (2) 连续函数的复合函数仍是连续函数； (3) 基本初等函数在其定于内都是连续的。 3、函数的间断点 (1) 间断点的定义 (2) 间断点的分类 第一类间断点： 若函数当时，左右极限都存在但不相等， 跳跃间断点 若函数当时，左右极限都存在且相等，但是不等于函数值或函数值无定义， 可去间断点 第二类间断点： 除了第一类间断点外，其他间断点都称为第二类间断点。 4、闭区间上连续函数的性质 最值性、介值性、零值定理。 第二章 导数与微分 一、导数的概念 1、引例 (1) 平面曲线上切线的斜率 (2) 总产量对时间的变化率 2、导数的定义 (函数在一点可导的定义)设函数在点的某领域有定义，当自变量在点处取得该变量，即自变量从改变到(，点仍在该领域内)时，函数取得相应的该变量为 ， 若当时，比值的极限存在，即 存在，则称此极限值为函数在点处的导数，记为 ，，， 即 。 此时，称函数在点处可导。 (函数在区间可导的定义)若函数在区间内每一点处都可导，则称函数在区间内可导。这时对于任一个，都对应着函数的一个确定的到数值，这样就构成了一个新的函数，称此函数为的导函数，简称导数，记作 ，，，。 即 。 3、导数的几何意义 函数在点处的导数在几何上就表示了曲线在点处切线的斜率。 4、左导数与右导数 如果极限存在，则称此极限值为在点处的左导数，记作，即 ， 如果极限存在，则称此极限值为在点处的右导数，记作，即 。 显然，在点处可导的充要条件是在点处的左右导数存在且相等，即 。 如果函数在开区间内可导，且与存在，则称在上可导。 5、函数可导与连续的关系 若函数在点处可导，则函数在点处连续(即可导必连续)。 二、导数的基本公式与运算法则 1、函数和、差、积、商的求导法则 ()