微积分课件第4节 多元复合函数的求导法则.ppt

因为f 具有二阶连续偏导数， 类似地， 所以 故 u v x y 小结 一、复合函数的求导法则 z u v x y 链式法则2 复合函数的中间变量为多元函数的情形 2.掌握链式法则：连线相乘,分路相加 1.分析函数结构图 设 z= f (u, v) , 练习： 思考题 思考题解答 作业： P323 2(3)；5(2);6(1) 下次课内容 一、多元函数的全微分形式的不变性 二、隐函数微分法 * 一、多元函数的全微分形式的不变性 二、隐函数微分法 复习 一、复合函数微分法 z u v x y 链式法则2 复合函数的中间变量为多元函数的情形 函数结构图. 设 z= f (u, v) , 这一性质称为一元函数一阶微分形式的不变性． 形式, 还是中间变量, 则无论u 是自变量 二、一阶全微分形式不变性 回顾:一元函数一阶微分形式的不变性 设 二元函数z = f (u, v)有连续偏导数, 如果u, v是中间变量, 的全微分为 其中 当u, v是 则复合函数 且具有连续偏导数, 即 自变量时,有 多元函数的一阶全微分形式不变性 所以 由此可见, 不论 u, v是自变量还是中间变量, 这个性质称为一阶全微分的形式不变性. 函数z = f (u, v) 的全微分的形式具有同一形式. 例1 求函数 的偏导数和全微分. 解一 解二： 微分公式 故 由微分运算性质及全微分形式不变性，得 二、一阶全微分形式不变性 且 二、一阶全微分形式不变性 例1 求函数 的偏导数和全微分. 例2 解一 例2 由微分运算性质及全微分形式不变性，得 二、一阶全微分形式不变性 例2 解二 故 利用全微分公式 二、一阶全微分形式不变性 例3 解 等式两端求微分，得 所以 二、一阶全微分形式不变性 例4 设 其中f (u, v)有连续偏导数, 求 解 设 由二元函数一阶微分形式不变性，得 二、一阶全微分形式不变性 例4 设 其中f (u, v)有连续偏导数, 求 解2 设 z u v x y 故 二、一阶全微分形式不变性 小结 一、复合函数微分法 z u v x y 链式法则2 复合函数的中间变量为多元函数的情形 函数结构图. 设 z= f (u, v) , 二、一阶全微分形式不变性 P27 1.求下列函数的导数: 解 P33 解 项数等于路径条数 因子数等于连线数 复合函数求导法则特征说明 z u v x y 公式与结构图两者之间的联系: 基本规律: 分路相加, 连线相乘, 分清变量, 逐层求导. 复合函数求导法则虽然是多种多样, 但是把握了其规律就 可以直接写出给定的复合函数的偏导数的公式. 与结构图中相连接的两个变量的偏导数相对应. 这两个偏导数形式 ②公式中每项为两个偏导数的乘积, 两项组成, ①公式中偏导数由 对应结构图中有两条 x 到达 z 的路径. P59.4.讨论下列函数的连续性 解 作业讲评: 解 由夹逼准则 P59.4.讨论下列函数的连续性 解 * 第四节 多元复合函数的求导法则 返回 一、多元复合函数的求导法则 二、多元函数的全微分形式不变性 第四节 多元复合函数的求导法则 目的要求： 一.掌握求多元复合函数偏导数的方法 二.了解多元函数的全微分形式的不变性 重点: 多元复合函数的一阶及二阶偏导数计算 难点: 抽象复合函数的偏导数计算 第四节 多元复合函数的求导法则 复合函数形式的复杂性，也使得多元复合函数 求导法则形式具有多变性，学习中要注意把握 函数的结构特征与法则之间的联系. 同一元复合函数求导法则相同，多元复合函数求导法则在多元函数微分学中起着重要作用，它是多元函数微分学的核心.但是由于多元 一、复合函数求导法则（链式法则） 一、复合函数求导法则 设函数 z= f (u, v) , 设函数 u = ?(x) 与v = ?(x) 在x 处均可导, 则复合函数 对 x 的导数存在, z u v x 求导公式 函数结构 一元复合函数求导法则 y u x （中间变量为一元函数） 函数 则有复合 而 且 二元函数 z = f (u , v )在 x 对应点(u , v)处有一阶连续偏 定理 导数, 全导数 1.链式法则1