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* 北京航空航天大学 北京航空航天大学 北京航空航天大学 北京航空航天大学 北京航空航天大学 北京航空航天大学 北京航空航天大学 北京航空航天大学 北京航空航天大学 北京航空航天大学 北京航空航天大学 北京航空航天大学 北京航空航天大学 微课精彩案例 李尚志 北京航空航天大学 务虚 微课应出彩. 课程最小单位. 有来有往. 录像与剪辑 切线方程与斜率 微积分 字母运算:一劳永逸 设c ≈ x0 ,则 u =x0-c ≈ 0. 将 x0= c+u 代入f(x0)=0 得 f(c+u) = (c+u)3-3(c+u)+1= f(c) +(3c2-3)u+o(u)= 0 (1) o(u)是高次项之和. {u?0} = { [o(u)/u] ?0}. o(u)是无穷小量u的无穷小倍, 称为高阶无穷小. 常数项 f(c)=c3-3c+1. 记 f ’(c)=3c2-3 (一次项系数) . 式(1)舍去o(u) 得 f(c)+f ’(c)u ≈0 =u=x0-c ≈ -f(c)/f ’(c). 公式: x0 ≈ c1=c-f(c)/f ’(c) . c1比c更接近x0 . c =0 = c1=1/3 = c2=0.3472 = c3=0.3473. 如法炮制 例2. 求方程 x3+x-3= 0 的实根的近似值. 解. f(1)=-10f(2)=7 0 u=x0-1 1, 将 x0 =1+u 代入 f(x0)=0得 f(1+u)=(1+u)3+(1+u)-3= -1+4u+o(u)=0 = -1+4u ≈ 0 = u≈1/4 = x0≈1.25. 仿照例1, 对每个c ≈ x0 设u = x0-c 得 x0=c+u, f(c+u)=(c+u)3+(c+u)-3=f(c)+(3c2+1)u +o(u) =0 = f(c)+(3c2+1)(x0-c)≈0 = x0≈ c-f(c)/(3c2+1). c=1 = c1=1.25 = c2=1.2143 = c3=1.21341. 方程x3-3x+1=0求根? 曲线 y=x3-3x+1与x轴交点横坐标. 变成一次方程 -3x+1=0?换成直线 y=-3x+1 求交点. 画图: 运行Mathematica语句 观察发现: 直线与曲线在点(0,1)相切. 换成过(1/3, f(1/3))=(1/3,1/27)的直线 y=1/27-(8/3)u即 y=1/27-(8/3)(x-1/3). 也与曲线相切. 牛顿切线法:用切线代替曲线求交点. 代数解法的几何版本 过曲线 y=f(x)=x3-3x+1 上一点C(c, f(c)) 的切线. 几何: 直线 y=h(x)=f(c)+k(x-c),在C 附近与曲线最吻合者. 代数:当 x-c?0时误差 E(x)=|f(x)-h(x)|最小. 实现: f(x)改写成 u=x-c的多项式 f(c+u)=(c+u)3-3(c+u)+1 = f(c)+f ’(c)u+o(u)=f(c)+(3c2-3)(x-c)+o(x-c), (泰勒展开式) 当u?0, E(x) = |(f ’(c)-k)u+3cu2+u3|?0, 无法区别不同的k ; E(x)/|u| =|(f ’(c)-k)+3cu+u2|?|f ’(c)-k|,最小值0 (当k=f ’(c)) . 切线方程 : y= f(c)+f ’(c)(x-c) （泰勒展开式舍弃高次项） 切线的代数刻画 三角函数 的导数 刘徽割圆 例1. 计算sin1o的近似值. 分析. 设单位圆弧AB长度= x = 角AOB的弧度数. 则:弧长B’B =2x, 弦长B’B =2sinx. 按照刘徽割圆原理, 当角AOB很小, 弧长2x≈弦长2sinx. x?0 = 相对误差 重要极限: 误差 E(x) = x-sinx =o(x) ? sinx=x+o(x)≈x 解. sin1o =sin(p/180) ≈ p/180 ≈3.1416/180 ≈ 0.01745 点评. 记 f(x)=sin x. 则 ? sinx=x+o(x). 由 f ’(0)可求出 f ’(x). 曲率半径 例2.某工件内表面截线为抛物线 y=0.4x2. 用砂轮削其内表面,求砂轮直径. 曲率半径. 过曲线 y=f(x) 上一点A(x,y)附近与曲线最吻合的圆弧半径R. 过A附近曲线段AP端点A,P分别作曲线切线AB,PT的垂线交于 E. 则 R=|EA|=(弧长AP)/(角E)≈|AP|/(q-a). 设P的坐标为(x+dx,f(x+dx))=