必修2空间角和空间距离(理科).doc

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必修2空间角和空间距离(理科)

空间角和空间距离 空间角 两条异面直线所成的角: 两条异面直线a、b,经过空间任意一点O作直线c∥a,d∥b,我们把直线c和d所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角。 注意:①两条异面直线a,b所成的角的范围是(0°,90°].   ②两条异面直线所成的角与点O的选择位置无关,这可由前面所讲过的“等角定理”直接得出.   ③由两条异面直线所成的角的定义可得出异面直线所成角的一般方法:   (i)在空间任取一点,这个点通常是线段的中点或端点.   (ii)分别作两条异面直线的平行线,这个过程通常采用平移的方法来实现.   (iii)指出哪一个角为两条异面直线所成的角(锐角或直角),这时我们要注意两条异面直线所成的角的范围. (2)直线与平面所成的角   1)直线与平面斜交时,直线与平面所成的角是指这条直线和它在平面上的射影所成的锐角. 2)直线与平面垂直时,直线与平面所成的角为. 3)直线与平面平行或在平面内时,直线与平面所成的角为. 显然,直线与平面所成的角的范围为. 4)求一条斜线和平面所成的角:做出这条斜线在平面内的射影,再确定斜线和射影所成角的大小即可。 斜线在平面内的射影:从斜线上除斜足外的任意一点向平面引垂线,过斜足和垂足的直线叫做斜线在这个平面内的射影,斜线上任意一点在平面内的射影一定在斜线的射影上。 (3)二面角   (1)二面角的定义   一条直线出发的二个半平面所形成的图形称为二面角,这条直线称为二面角的棱,二个半平面称为二面角的面.   (2)二面角的平面角的定义:以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角,叫做二面角的平面角.   注意:①二面角的平面角两边必须都与棱垂直.   ②二面角的平面角的大小是由二面角的两个面的位置关系所确定的,与定义中棱上任一点的选择无关,也就是二面角的平面角不只一个,但这些平面角的大小是相等的.   ③二面角的平面角的范围是,当两个半平面重合时,;相交时;共面时.平面角是直角的二面角叫做直二面角.   (3)二面角的平面角的确定与求法   ①直接法:这种方法的思路是:先作出二面角的平面角,然后通过解三角形,求出平面角的大小,即为所求的二面角的大小.   ②公式法:射影面积公式,如果平面多边形的面积为S,它在平面内的射影面积为,平面多边形与平面所夹的锐二面角为,那么. 空间距离 (1)两条异面直线间的距离: 两条异面直线a、b,设A是a上面某点、B是b上面某点,连接AB,使得a⊥AB, b⊥AB,则直线AB叫做异面直线a和b的公垂线,公垂线段AB的长度叫做异面直线a与b之间的距离。 注意:①和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线。 ②两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度,才是两条异面直线间的距离,它是确定的值。 ③任意两条异面直线的公垂线都是存在且唯一的。 求两条异面直线间的距离:先找到公垂线,再确定公垂线短的长度即可。 (2)点到平面的距离: 平面外一点到平面的距离是从这一点向平面引垂线,这个点和垂足间的距离,叫做这个点到这个平面的距离。 点到平面的距离的确定和求法: ①直接法:通过做垂线找到这个距离,再算出或确定它的大小即可。 ②等体积法:在某个具体图形中将这个点到平面的距离视作某个几何图形的高,再通过体积变换求出这个几何图形的体积,从而算出高确定距离。 与平面平行的直线到平面的距离: 一条直线和一个平面平行时,这条直线上任意一点到这个平面的距离,叫做这条直线到这个平面的距离。 求法:转化成点到平面的距离。 (4)两平行平面间的距离: 如果两个平面平行,那么其中一个平面上任意一点到另一个平面的距离,叫做这两个平行平面间的距离。 求法:转化成点到平面的距离。 典型例题剖析例.已知:a、b是两条异面直线,直线a上的两点A、B的距离为6,直线b上的两点C、D的距离为8,AC、BD的中点分别为M、N,且MN=5.求异面直线a、b所成的角. 在正四棱柱ABCD-A′B′C′D′中,底面边长为2,侧棱长为4,E,F分别是棱AB,BC的中点,求点D′到平面B′EF的距离. 例4.如图,已知中,,平面ABC,,PB与平面ABC成角,求二面角A-PB-C的正弦值. 例5.(2016年新课标1)平面过正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点A,,,,则m,n所成角的正弦值为 (A) (B) (C) (D) 例6.在正方体中,与对角面所成角的大小是( ) .        . C.      . 例7.在中,AB=AC=5,BC=6,平面ABC,PA=8,则P到BC的距离是( ) .        .

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