必修2空间角和空间距离(理科).doc

空间角和空间距离 空间角 两条异面直线所成的角： 两条异面直线a、b，经过空间任意一点O作直线c∥a，d∥b，我们把直线c和d所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角。 注意：①两条异面直线a，b所成的角的范围是（0°，90°]． 　　②两条异面直线所成的角与点O的选择位置无关，这可由前面所讲过的“等角定理”直接得出． 　　③由两条异面直线所成的角的定义可得出异面直线所成角的一般方法： 　　(i)在空间任取一点，这个点通常是线段的中点或端点． 　　(ii)分别作两条异面直线的平行线，这个过程通常采用平移的方法来实现． 　　(iii)指出哪一个角为两条异面直线所成的角(锐角或直角)，这时我们要注意两条异面直线所成的角的范围． （2）直线与平面所成的角 　　1)直线与平面斜交时，直线与平面所成的角是指这条直线和它在平面上的射影所成的锐角． 2)直线与平面垂直时，直线与平面所成的角为． 3)直线与平面平行或在平面内时，直线与平面所成的角为． 显然，直线与平面所成的角的范围为． 4）求一条斜线和平面所成的角：做出这条斜线在平面内的射影，再确定斜线和射影所成角的大小即可。 斜线在平面内的射影：从斜线上除斜足外的任意一点向平面引垂线，过斜足和垂足的直线叫做斜线在这个平面内的射影，斜线上任意一点在平面内的射影一定在斜线的射影上。 （3）二面角 　　(1)二面角的定义 　 一条直线出发的二个半平面所形成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，二个半平面称为二面角的面． 　　(2)二面角的平面角的定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角，叫做二面角的平面角． 　　注意：①二面角的平面角两边必须都与棱垂直． 　　②二面角的平面角的大小是由二面角的两个面的位置关系所确定的，与定义中棱上任一点的选择无关，也就是二面角的平面角不只一个，但这些平面角的大小是相等的． 　　③二面角的平面角的范围是，当两个半平面重合时，；相交时；共面时．平面角是直角的二面角叫做直二面角． 　　(3)二面角的平面角的确定与求法 　　①直接法：这种方法的思路是：先作出二面角的平面角，然后通过解三角形，求出平面角的大小，即为所求的二面角的大小． 　　②公式法：射影面积公式，如果平面多边形的面积为S，它在平面内的射影面积为，平面多边形与平面所夹的锐二面角为，那么． 空间距离 （1）两条异面直线间的距离： 两条异面直线a、b，设A是a上面某点、B是b上面某点，连接AB，使得a⊥AB， b⊥AB，则直线AB叫做异面直线a和b的公垂线，公垂线段AB的长度叫做异面直线a与b之间的距离。 注意：①和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线。 ②两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，才是两条异面直线间的距离，它是确定的值。 ③任意两条异面直线的公垂线都是存在且唯一的。 求两条异面直线间的距离：先找到公垂线，再确定公垂线短的长度即可。 （2）点到平面的距离： 平面外一点到平面的距离是从这一点向平面引垂线，这个点和垂足间的距离，叫做这个点到这个平面的距离。 点到平面的距离的确定和求法： ①直接法：通过做垂线找到这个距离，再算出或确定它的大小即可。 ②等体积法：在某个具体图形中将这个点到平面的距离视作某个几何图形的高，再通过体积变换求出这个几何图形的体积，从而算出高确定距离。 与平面平行的直线到平面的距离： 一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离。 求法：转化成点到平面的距离。 （4）两平行平面间的距离： 如果两个平面平行，那么其中一个平面上任意一点到另一个平面的距离，叫做这两个平行平面间的距离。 求法：转化成点到平面的距离。 典型例题剖析例．已知：a、b是两条异面直线，直线a上的两点A、B的距离为6，直线b上的两点C、D的距离为8，AC、BD的中点分别为M、N，且MN=5．求异面直线a、b所成的角． 在正四棱柱ABCD-A′B′C′D′中，底面边长为2，侧棱长为4，E，F分别是棱AB，BC的中点，求点D′到平面B′EF的距离． 例4．如图，已知中，，平面ABC，，PB与平面ABC成角，求二面角A－PB－C的正弦值． 例5．（2016年新课标1）平面过正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点A，,，，则m，n所成角的正弦值为 （A） （B） （C） （D） 例6.在正方体中，与对角面所成角的大小是（　） ．　　　　　　　　． C．　　　　　　． 例7.在中，AB=AC=5，BC=6，平面ABC，PA=8，则P到BC的距离是（　） ．　　　　　　　　．