加密与马氏链建模.ppt

早期密码 （b）建模 根据假设(ii)，先考虑第n代中的AA型。由于第n－1代的AA型与AA型结合。后代全部是AA型；第n－1代的Aa型与AA型结合，后代是AA型的可能性为 1/2，而 第n－1代的aa型与AA型结合，后代不可能 是AA型。因此当n=1,2…时 即 类似可推出 cn=0 显然有 （ii）第n代的分布与 第n－1代的分布之间的关系是通过下表确定的。 (1.2) (1.3) (1.4) 0 0 0 aa 1 1/2 0 Aa 0 1/2 1 AA 后 代 基 因 型 AA－aa AA－Aa AA－AA 父体——母体的基因型 将（1.2）、（1.3）、（1.4）式相加，得 根据假设(I)，可递推得出： 对于(1.2)式.(1.3)式和(1.4)式，我们采用矩阵形式简记为 其中 （注：这里M为转移矩阵的位置） (1.5) 由（1.5）式递推，得 (1.6) （1.6）式给出第n代基因型的分布与初始分布的关系。 为了计算出Mn，我们将M对角化，即求出可逆矩 阵P和对角库D，使 M=PDP-1 因而有 Mn=PDnP-1, n=1,2,… 其中 这里 ， ， 是矩 阵M的三个特征值。对于 (1.5)式中的M，易求得它的特征值和特征向量： =1， =1/2， =0 因此 所以 通过计算，P-1=P，因此有 即 所以有 当 时， ，所以从（1.7）式得到 即在极限的情况下，培育的植物都 是AA型。 若在上述问题中，不选用基 因AA型的植物与每一植物结合，而是将具有相同基因型植物相结合，那么后代具有三种基因型的概率如 表所示。 1 1/4 0 aa 0 1/2 0 Aa 0 1/4 1 AA 后 代 基 因 型 aa－aa Aa－Aa AA－AA 父体——母体的基因型 并且 ，其中 M的特征值为 通过计算，可以解出与 、 相对应的两个线性无关的特征向量e1和e2，及与相对应的特征内 量e3： 因此 解得： 当 时， ，所以 因此，如果用基因 型相同的植物培育 后代，在极限情况 下，后代仅具有基 因AA和aa。 例1.9 常染体隐性疾病模型 现在世界上已经发现的遗传病有将 近4000种。在一般情况下，遗传疾病和特殊的种族、部落及群体 有关。例如，遗传病库利氏贫血症的患者以居住在 地中海沿岸为多，镰状网性贫血症一般流行在黑人中，家族黑蒙性白痴症则流行在东欧犹太人中间。 患者经常未到成年就痛苦地死去，而他们的父母则 是疾病的病源。假若我们能识别这些疾病的隐性患 者，并且规定两个隐性患者不能结合（因为两个隐 性病患者结合，他们的后代就可能成为显性患者），那么未来的儿童，虽然有可能是隐性患者，但绝不 会出现显性特征，不会受到疾病的折磨。 现在，我们考虑在控制结合的情况下，如何确定后代中隐性患者的概率。 （a）假设 （i）常染色体遗传的正常基因记 为A，不 正常基因记 为a，并以 AA，Aa，aa 分别表示正常人，隐性患者，显性患 者的基因型 （ii）设an,bn分别表示第n代中基因型为 AA，Aa的人占总人数的百分比， 记 ，n=1,2,…（这里 不考 虑aa型是因 为这些人不可能成年并结婚） （iii）为使每个儿童至少有一个正常的父 亲或母亲，因此隐性患者必须与正常 人结合，其后代的基因型概率由 下表 给出： 1/2 0 Aa 1/2 1 AA 后 代 基 因 型 AA－Aa AA－AA 父母的基因型 （b）建模 由假设（iii），从第n－1代到第n代基因型分布的变化取 决于方程 所以 ，其中 如果初始分 布x(0)已知，那么 第n代基因型分布为 解 将M对角化，即求出特征值及其所对应的特征向量，得 计算 = (1.8) 因为 ，所以当 时， ， 隐性患者逐渐消失。 从(1.8)式中可知 每代隐性患者的概率是前一代隐性患者概率的1/2。 (1.9) * * 加密与马氏链数学建模 §1 密码的设计，解码与破译 密码的设计和使用至少可从追溯到四千多年前的埃及 ,巴比伦、罗马和希腊，历史极为久远 。古代隐藏信息的方法 主要有两大类：