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插值法与冶金 目录 第一章 《插值法》算法描述 - 2 - 一、 《插值法》问题提出 - 2 - 二、 《插值法》数学描述 - 3 - 三、 《插值法》相关概念 - 4 - 四、 《插值法》相关理论 - 4 - 第二章 《插值法》算法研究 - 6 - 一、《插值法》种类 - 6 - 1. 拉格朗日插值 - 6 - 2. 牛顿（Newton）插值 - 8 - 3. 分段线性插值 - 12 - 4. 埃尔米特(Hermite)插值 - 13 - 5. 样条插值 - 13 - 二、《插值法》比较 - 15 - 第三章 《插值法》算法应用 - 16 - 一、拉格朗日插值主程序 - 16 - 二、牛顿插值主程序 - 17 - 三、拉格朗日插值程序设计举例验证 - 18 - 四、牛顿插值程序设计举例验证 - 19 - 第四章 《插值法》算法展望 - 21 - 一、《插值法》在冶金工程专业领域的应用举例 - 21 - 二、《插值法》在其他领域的应用举例 - 24 - 参考文献 - 25 - 《插值法》算法描述 《插值法》问题提出 在科学研究和生产实践中遇到的函数y=f(x),虽然从原则上说它在某个区间[a,b]上存在，但是通过实验通常只知道在区间[a,b]上的一系列点的函数值，也就是说我们只知道函数的一张表。这对于研究物质的运动规律很不方便，更不能计算出未给出点的函数值。 这就需要建立函数的某种近似表达，而插值法就是构造函数的近似表达式的方法。 例如，某集团公司试图分析该公司的产量与生成费用之间的关系， 从所属企业中随机抽选了5个样本，得到了如下数据： 如果希望由这些数据合理的估计出它在其他产量时的生成费用，这就是一个典型的插值问题。 《插值法》数学描述 表一 根据函数的已知数据表1求函数f(x)的近似解析表达式φ(x)的方法。 插值法的必要条件是误差函数或余项R(x)=f(x-φ(x))满足关系式R(x)=0，I=1，2，3，…，n，由于代数多项式是简单而又便于计算的函数， 因此经常采用多项式作为插值函数，称为多项式插值。 多项式插值法有拉格朗日插值法、牛顿插值法、分段插值法和样条插值法等，其基本思想都是用高次代数多项式或分段的低次多项式作为被插值函数f(x)近似解析表达式。 《插值法》相关概念 插值法的定义 设函数在区间上有定义，且已知在点上的值，若存在一简单函数，使 成立，就称为的插值函数(Interpolating Function)，点为插值节点(Interpolation Knot)，包括插值节点的区间称为插值区间(Interpolation Interval)，求插值函数的方法称为插值法(Interpolation Method)。若为次数不超过的代数多项式 其中的为实数，就称为插值多项式(Interpolation Ploynomial)，相应的插值法称为多项式插值。若为分段的多项式，就称为分段插值(Piecewise Interpolation)。 《插值法》相关理论 常用多项式插值公式构造 一、拉格朗日插值多项式 由表1构造的n次拉格朗日插值多项式 其中 为插值基函数，拉格朗日插值多项式在理论分析中非常方便，因为它的结构紧凑，利用基函数很容易推导和形象的描述算法。 但是它也有一些缺点： 当插值节点增加、减少或其位置变化时，整个插值多项式的结构都会改变，这就不利于实际计算，增加了算法复杂度。 此时我们通常采用牛顿插值多项式算法。 二、牛顿插值多项式 由数表1构造的牛顿插值多项式为： 用它插值时，首先要计算各阶差商，而各高阶差商可归结为一阶差商的逐次计算。 一般情况讨论的插值多项式的节点都是任意分布的，但是在实际应用中出现了很多等距节点的情形，这时的插值公式可以进一步简化， 在牛顿均差插值多项式中各阶均差用相应的差分代替， 就得到了各种形式的等距节点插值公式，常用的是牛顿前插与后插公式。 三、分段插值 在整个插值区间上，随着插值节点的增多，插值多项式的次数必然增高，而高次插值会产生Runge现象，不能有效地逼近被插函数， 有学者提出用分段的低次多项式分段近似被插函数，这就是分段插值法。 构造分段插值多项式的方法仍然是基函数法，即先在每个插值节点上构造分段线性插值基函数，再对基函数作线性组合。 它的优点在于只要节点间距充分小，总能获得所要求的精度，即收敛性总能得到保证，另一优点是它的局部性质，即如果修改某个数据，那么插值曲线仅仅在某个局部范围内受到影响。 四、Hermite插值 分段线性插值的算法简单、计算量小，然而从整体上看，逼近函数不够光滑，在节点处，逼近函数的左右导数不相等，若要求逼近函数与被逼近函数不仅在插值节点上取相同的函数值， 而且要求逼近函数与被逼近函数在插值节点上取相同的若干阶导数值，这类问题称为Herm