教材回归(四) 以菱形为背景的证明与计算.ppt

数学 湘教版八年级下册 课件目录 首 页 末 页 教材回归(四) 以菱形为背景的证明与计算 (教材P70练习第2题) 图1 如图1，在?ABCD 中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作MN⊥BD，分别交AD，BC于点M，N. 求证：四边形BNDM是菱形． 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，且对角线AC，BD相交于点O， ∴OB＝OD，AD∥BC. ∴∠NBO＝∠MDO. 又∵MN⊥BD， ∴∠MOD＝∠NOB＝90°. ∴△MOD≌△NOB(ASA)． ∴OM＝ON.∴四边形BNDM是平行四边形． 又∵MN⊥BD，∴四边形BNDM是菱形． 【思想方法】 菱形的判定常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分． 如图2，在?ABCD 中，点E，F分别在AB，CD上，且AE＝CF. (1)求证： △ADE≌△CBF； (2)若 DF＝BF，求证： 四边形DEBF为菱形． 图2 证明：(1)∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD＝CB，∠A＝∠C. 又∵AE＝CF， ∴△ADE ≌ △CBF. (2)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD，即BE∥DF. ∵AE＝CF，∴BE＝DF. 又∵BE∥DF， ∴四边形DEBF是平行四边形． ∵DF＝BF， ∴四边形DEBF是菱形． [2014·厦门]如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，AM⊥BC，垂足为M，AN⊥DC，垂足为N，若∠BAD＝∠BCD，AM＝AN，求证：四边形ABCD是菱形． 图3 证明：∵AD∥BC， ∴∠B＋∠BAD＝180°，∠D＋∠C＝180°， ∵∠BAD＝∠BCD， ∴∠B＝∠D， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AM⊥BC，AN⊥DC，∴∠AMB＝∠AND＝90°， [2015·长春]如图4，CE是△ABC外角∠ACD的平分线，AF∥CD交CE于点F，FG∥AC交CD于点G.求证：四边形ACGF是菱形． 图4 证明：∵AF∥CD，FG∥AC， ∴四边形ACGF是平行四边形，∠FCG＝∠AFC， ∵CE平分∠ACD， ∴∠ACF＝∠FCG， ∴∠ACF＝∠AFC， ∴AC＝AF， ∴四边形ACGF是菱形． [2015·张家界]如图5，已知：在平行四边形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，AE＝CG，AH＝CF，且EG平分∠HEF.求证： (1)△AEH≌△CGF； (2)四边形EFGH是菱形． 图5 ∴△AEH≌△CGF(SAS)； 又由(1)知，△AEH≌△CGF，∴EH＝GF， ∴四边形EFGH是平行四边形，∴HG∥EF， ∴∠HGE＝∠FEG， ∵EG平分∠HEF，∴∠HEG＝∠FEG， ∴∠HEG＝∠HGE，∴HE＝HG， ∴四边形EFGH是菱形． [2015·黔南]如图6，已知△ABC，直线PQ垂直平分AC，与边AB交于E，连接CE，过点C作CF平行于BA交PQ于点F，连接AF. (1)求证：△AED≌△CFD； (2)求证：四边形AECF是菱形； (3)若AD＝3，AE＝5，则菱形AECF的面积是多少？ 图6 如图7，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，分别与BC，CD交于E，F，EH⊥AB于H，连接FH.求证：四边形CFHE是菱形． 图7 证明： ∵AE平分∠BAC， ∴∠CAE＝∠HAE. ∵EH⊥AB于H， ∴∠AHE＝90°＝∠ACE. 又∵AE＝AE， ∴△ACE≌△AHE. ∴EC＝EH，AC＝AH. 又∵∠CAE＝∠HAE，AF＝AF， ∴△AFC≌△AFH.∴FC＝FH. ∵CD⊥AB于D，∠ACB＝90°， ∴∠DAF＋∠AFD＝∠CAE＋∠AEC＝90°. 又∵∠DAF＝∠CAE，∠AFD＝∠CFE， ∴∠CFE＝∠CEF.∴CF＝CE. ∴EC＝EH＝HF＝FC.∴四边形CFHE是菱形． [2015·酒泉]如图8，在平行四边形ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，∠B＝60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF. (1)求证：四边形CEDF是平行四边形； (2)①当AE＝_______ cm时，四边形CEDF是矩形； ②当AE＝_____ cm时，四边形CEDF是菱形． 图8 3.5 2 变形7答图 ?(1)证明：∵四边形ABCD是平