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教材回归(四) 以菱形为背景的证明与计算
数学 湘教版八年级下册 课件目录 首 页 末 页 教材回归(四) 以菱形为背景的证明与计算 (教材P70练习第2题) 图1 如图1,在?ABCD 中,对角线AC,BD相交于点O,过点O作MN⊥BD,分别交AD,BC于点M,N. 求证:四边形BNDM是菱形. 证明:∵四边形ABCD 是平行四边形,且对角线AC,BD相交于点O, ∴OB=OD,AD∥BC. ∴∠NBO=∠MDO. 又∵MN⊥BD, ∴∠MOD=∠NOB=90°. ∴△MOD≌△NOB(ASA). ∴OM=ON.∴四边形BNDM是平行四边形. 又∵MN⊥BD,∴四边形BNDM是菱形. 【思想方法】 菱形的判定常用三种方法:①定义;②四边相等;③对角线互相垂直平分. 如图2,在?ABCD 中,点E,F分别在AB,CD上,且AE=CF. (1)求证: △ADE≌△CBF; (2)若 DF=BF,求证: 四边形DEBF为菱形. 图2 证明:(1)∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AD=CB,∠A=∠C. 又∵AE=CF, ∴△ADE ≌ △CBF. (2)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=CD,AB∥CD,即BE∥DF. ∵AE=CF,∴BE=DF. 又∵BE∥DF, ∴四边形DEBF是平行四边形. ∵DF=BF, ∴四边形DEBF是菱形. [2014·厦门]如图3,在四边形ABCD中,AD∥BC,AM⊥BC,垂足为M,AN⊥DC,垂足为N,若∠BAD=∠BCD,AM=AN,求证:四边形ABCD是菱形. 图3 证明:∵AD∥BC, ∴∠B+∠BAD=180°,∠D+∠C=180°, ∵∠BAD=∠BCD, ∴∠B=∠D, ∴四边形ABCD是平行四边形, ∵AM⊥BC,AN⊥DC,∴∠AMB=∠AND=90°, [2015·长春]如图4,CE是△ABC外角∠ACD的平分线,AF∥CD交CE于点F,FG∥AC交CD于点G.求证:四边形ACGF是菱形. 图4 证明:∵AF∥CD,FG∥AC, ∴四边形ACGF是平行四边形,∠FCG=∠AFC, ∵CE平分∠ACD, ∴∠ACF=∠FCG, ∴∠ACF=∠AFC, ∴AC=AF, ∴四边形ACGF是菱形. [2015·张家界]如图5,已知:在平行四边形ABCD中,点E,F,G,H分别在边AB,BC,CD,DA上,AE=CG,AH=CF,且EG平分∠HEF.求证: (1)△AEH≌△CGF; (2)四边形EFGH是菱形. 图5 ∴△AEH≌△CGF(SAS); 又由(1)知,△AEH≌△CGF,∴EH=GF, ∴四边形EFGH是平行四边形,∴HG∥EF, ∴∠HGE=∠FEG, ∵EG平分∠HEF,∴∠HEG=∠FEG, ∴∠HEG=∠HGE,∴HE=HG, ∴四边形EFGH是菱形. [2015·黔南]如图6,已知△ABC,直线PQ垂直平分AC,与边AB交于E,连接CE,过点C作CF平行于BA交PQ于点F,连接AF. (1)求证:△AED≌△CFD; (2)求证:四边形AECF是菱形; (3)若AD=3,AE=5,则菱形AECF的面积是多少? 图6 如图7,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AE平分∠BAC,分别与BC,CD交于E,F,EH⊥AB于H,连接FH.求证:四边形CFHE是菱形. 图7 证明: ∵AE平分∠BAC, ∴∠CAE=∠HAE. ∵EH⊥AB于H, ∴∠AHE=90°=∠ACE. 又∵AE=AE, ∴△ACE≌△AHE. ∴EC=EH,AC=AH. 又∵∠CAE=∠HAE,AF=AF, ∴△AFC≌△AFH.∴FC=FH. ∵CD⊥AB于D,∠ACB=90°, ∴∠DAF+∠AFD=∠CAE+∠AEC=90°. 又∵∠DAF=∠CAE,∠AFD=∠CFE, ∴∠CFE=∠CEF.∴CF=CE. ∴EC=EH=HF=FC.∴四边形CFHE是菱形. [2015·酒泉]如图8,在平行四边形ABCD中,AB=3cm,BC=5cm,∠B=60°,G是CD的中点,E是边AD上的动点,EG的延长线与BC的延长线交于点F,连接CE,DF. (1)求证:四边形CEDF是平行四边形; (2)①当AE=_______ cm时,四边形CEDF是矩形; ②当AE=_____ cm时,四边形CEDF是菱形. 图8 3.5 2 变形7答图 ?(1)证明:∵四边形ABCD是平
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