数值分析--绪论PPT.ppt

1 绪 论 ?本章主要内容： 1.1 数值计算及其特点 1.2 误差分析 1.3 稳定性概念与病态问题 重点：误差 难点：有效数字、稳定性 1.1 数值计算及其特点 1.1.1 数值问题与数值计算 ?数值问题 特征值问题、定积分问题、一元方程问题、方程组问题、插值与拟合问题、微分方程问题等 ?数值计算 数值方法—仅利用代数方法来计算问题（都是计算机可以实现的运算） 解析方法—通过方程的的方法求解，涉及到积分、微分等 数值方法的结果得到的是（近似）数值，解析方法的结果不一定是数值 数学问题要用数值方法来求解，通常需要将其转化为数值问题 离散化和迭代是两个常用的转化途径 机器数 1.1 数值计算及其特点 1.1.2 数值计算的特点 ?理论上的精确运算与实际运算之间存在差异 由计算工具的特性导致。存放在计算机中的数称为机器数。 计算机的位数有限，有上、下溢出，对绝对值较大和较小的数采用浮点形式表示。 ?理论上的解题方案与实际能用性之间存在差异 有些数学方法不能作为数值方法 如克莱姆法则不仅对大规模线性方程组无能为力，而且对病态问题也很敏感;又如牛顿--莱布尼兹公式也不能求解所有的定积分问题;求极值的解析方法计算机也无能为力。 ?尽管数值解是一种近似，但它可以达到需要的精度 1.1 数值计算及其特点 1.1.3 数值方法的必要性 ?某些数学问题目前在数学上还没有求解方法。如一元高次多项式方程，一元超越方程。 ?有些数学问题在理论上有解决方法，但实际中并不可用，如大规模线性方程组。 ?有些数学问题在实践中有解决的方法，但仍需要对算法进行分析(误差分析)，如例1-5求定积分的例子。 1.2 误差分析 1.2.1 误差的来源 通常，解决一个实际问题需经过以下几个步骤。 1.2 误差分析 1.2.1 误差的来源 方法误差又称截断误差或余项。 舍入误差的积累可能对计算结果造成很大影响。 在数值分析课程中我们不讨论数学模型本身的模型误差和观测误差，只研究为求解数学模型而产生的方法误差和舍入误差。针对不同的数值方法，误差估计的侧重点也不同，有些数值方法主要讨论方法误差，如数值积分/微分、函数插值/逼近等；有些数值方法主要讨论舍入误差及观测误差(输入数据的误差)，如线性方程组求解。 1.2 误差分析 1.2.2 绝对误差与相对误差 ?设x是某个精确值x*的近似值，则称 为近似值x的绝对误差，简称误差。如果能找到绝对误差值的一个上界 ，使得 ，称 是近似值x的绝对误差界，简称误差界。 由于误差界不唯一，通常取满足 的最小值。 例 设精确值 ，求近似值 x1=3.14 x2=3.1415 x3=3.1416 x4=3.14159 的误差及误差界。 1.2 误差分析1.2.2 绝对误差与相对误差 ?设x是某个非零精确值x*的近似值，则称 为近似值x的相对误差。如果能找到相对误差值的一个上界 ，使得 ，称 是近似值x的相对误差界。 由于精确值往往是未知的，通常令 例1-1 函数值的误差。 例1-2 P6。 进一步可得乘积相对误差为两个因子的相对误差之和。 1.2 误差分析1.2.2 绝对误差与相对误差 ?有效数字 若近似值的绝对误差界是某一数位上的半个单位，则称精确到该位，若从该位到的左起第一位非零数字一共有n位，则称近似值有n位有效数字。 从定义可以看出，通常的“四舍五入”后得到的数字都是有效数字，有效数字位数越多，数字越精确。而精确值被认为有无穷多位有效数字。 例1-3 例1-4 1.2 误差分析1.2.2 绝对误差与相对误差 当数字规格化表示后，有效数字也可有一下的定义： ?设近似值可写成规格化的形式 （1-1） 其中，ai是0-9之间的整数，a1不为零 ， k为整数。如果 （1-2） 则称为的具有n位有效数字的近似值。 定义2实际上给出了有效数字与绝对误差的关系。下面的定理揭示了有效数字与相对误差的关系。 定理1-1 设近似值x可写成（1-1）的规格化形式，若x至少有n位有效数字，则x的相对误差满足