数值分析_绪论.ppt

如果将前n项提出x，则有 p(x)=（anxn-1? an-1xn-2 ? … ? a1 ）x ? a0 =((anxn-2?an-1xn-3?…? a2)x?a1）x ? a0 =(…(anx ? an-1)x?…?a2)x ? a1)x ? a0 写成递推公式 于是 ,这种多项式求值的算法称为秦九 韶算法,只做n次乘法和n次加法,程序实现简单 (5) 控制递推公式中误差的传播 对于一个数学问题的求解往往有多种数值方法在选择数值方法时，要注意所用的数值方法不应将计算过程中难以避免的误差放大的较快，造成计算结果完全失真。 例13 计算积分 并估计误差 解 容易得到递推公式 即 为 则准确的理论递推式 实际运算的递推式 两式相减有 这就是说,若 与 的误差为 = - ,即 ，则误差的递推规律为 于是 计算 时的误差被扩大了 倍,显然算法是数值不稳定的。 如果将递推公式 变换一种形式 准确的理论递推式 实际运算的递推式 从而有 即 于是有 则这个算法的误差传递规律为 即每计算一步的误差的绝对值是上一步的十分之一，误差的传播逐步缩小，得到很好的控制，这个算法是数值稳定的 * * * test * * * * * * * * * * 3 误差的度量 3 误差的度量 3.1 绝对误差和绝对误差限 定义1设精确值x的近似值 x* ，称差 e(x*) =x-x* 为近似值x*的绝对误差，简称误差。 e(x*)又记为e* 当e*0时，x*称为弱近似值，当e*0时，x*称为强近似值, |e*|越小， x*的精度越高 由于精确值一般是未知的,因而e* 不能求出来, 但可以根据测量误差或计算情况设法估计出它的取值范围，即误差绝对值的一个上界或称误差限。 定义2 设存在一个正数 ，使 则称 为近似值的绝对误差限，简称误差限或精度。 实际应用中经常使用这个量来衡量误差限, 这就是说, 如果近似数 的误差限为 , 则 表明准确值 x 必落在? ? 上, 常采用下面的写法 来表示近似值的精度或准确值x所在的范围。 a-ε a+ε a A 例1 设x =?=3.1415926… 近似值x* =3.14,它的绝 对误差是 0.001 592 6…，有 ?? ?x-x*?=0.0015926… ?0.002=0.2?10-2 例2 又近似值x* =3.1416，它的绝对误差是 0.0000074…，有 ?x-x*?=0.0000074… ?0.000008=0.8?10-5 例3 而近似值x* =3.1415，它的绝对误差是 0.0000926…，有 ?x-x*?=0.0000926… ?0.0001=0.1?10-3 可见，绝对误差限?*不是唯一的，但?*越小越好 3.2 相对误差和相对误差限 只用绝对误差还不能说明数的近似程度,例如甲打字每100个错一个,乙打字每1000个错一个,他们的误差都是错一个,但显然乙要准确些,这就启发我们除了要看绝对误差外,还必须顾及量的本身。 定义3 绝对误差与精确值x的比值 称为相对误差。 简记为 相对误差越小,精度就越高,实际计算时,x通常是不知道的,因此可用下列公式计算相对误差 定义4 设存在一个正数 ，使 则称 为近似值 的相对误差限。 简记为 例4. 甲打字每100个错一个，乙打字每1000个 错一个，求其相对误差 解： 根椐定义:甲打字时的相对误差 乙打字时的相对误差 3.3 有效数字 定义5 设x的近似值 其中 是0到9之间的任一个数,但 n是正整数, m是整数,若 则称 为x的具有n位有效数字的近似值， 准确到第n位， 是 的有效数字。 例5. 3.142作为π的近似值时有几位有效数字 解： 3.141592…= 0.3141592…× 3.142 = 0.3142× m = 1 |π-3.142 |=|0.3141592…× -0.3142×? | ＜ 0.000041× ＜ 0.