数值与计算方法_(第1章_绪论).ppt

* 例题 * * * * * 算法二表明,仅用不多的五次函数值的计算,已获得π的具有五位有效数字的近似值。 * * * n In n In 0 09 0.017056624 1 0.088392216 10 0.014716876 2 0.058039818 11 0.017324710 3 0.043138742 12 -0.003290219 4 0.034306287 13 -0.093374172 5 0.028468560 14 -0.395442290 6 0.024323864 15 2.043878100 7 0.021237820 16 -108 0.018810897 17 50* * * 理论上成立的算法，在计算机上机算时，由于初值的误差在计算过程中的传播，而导致结果的失真。 这正是我们数值计算方法所要研究的内容之一。 * * * * * 实际问题 数学模型 (数值)算法 编程 计算结果 抽象 模型误差,观测误差 截断误差 舍入误差 * 误差的分类 模型误差： 从实际问题建立的数学模型往往都忽略了许多次要的因素,因此产生的误差称为模型误差. 观测误差： 一般数学问题包含若干参数,他们是通过观测得到的,受观测方式、仪器精度以及外部观测条件等多种因素，不可能获得精确值，由此而来产生的误差称为观测误差。 * 截断误差： 在求解过程中，往往以近似替代，化繁为简，这样产生的误差称为截断误差。 舍入误差： 在计算机上运算时受机器字长的限制，一般必须进行舍入，此时产生的误差称为舍入误差。 * 误差和有效数字 * 绝对误差 是为了衡量x*的精度高低，比较直观，但无法衡量精度的好坏。 而相对误差（也成百分比误差），衡量好坏更合理。 * 误差估计 由于准确值在一般情况下是未知的，因此绝对误差和相对误差常常是无法计算的，但有可能给出估计。 误差界就是用于误差估计的。 * 误差估计 * * 有效数字 在工程上，误差的概念就转化为有效数字。 * * 例：求1.3824具有几位有效数字? * 绝对误差，相对误差，有效数是度量近似数精度的常用三种。实际计算时最终结果均以有效数给出。同时也就隐含了绝对误差和相对误差界。 * * 函数值的误差估计 引入微分符号 * * * 1.2.3 函数值的误差估计 * * * * * 多元函数误差估计 * * 例题 * * * 1.3算法的优化 算法优劣的标准 从截断误差观点看,算法必须是截断误差小,收敛敛速要快。即运算量小,机器用时少. 从舍入误差观点看,舍入误差在计算过程中要能控制,即算法的数值要稳定. 从实现算法的观点看,算法的逻辑结构不宜太复杂，便于程序编制和上机实现. * 设计算法时应遵循的原则 要有数值要稳定性,即能控制误差的传播. 避免大数吃小数,即两数相加时,防止较小的数加不到较大的数上. 避免两相近的数相减,以免有效数字的大量丢失. 避免分母很小(或乘法因子很大),以免产生溢出. * 数值计算方法 * 先修课程 高等代数、线性代数、一门编程语言 开课情况 48学时，3学分。 * 教学安排 1. 绪论 2. 非线性方程的数值解法 3. 线性方程组的数值解法 4. 函数逼近的插值法与曲线拟合法 5. 数值积分 6. 常微分方程数值解法 7. 矩阵特征值和特征向量的数值解法 * 第1章 绪论 利用计算机解决实际问题有三大步骤： 建立模型 计算问题的解( 1.选择数值方法；2 .编写程序) 实验验证 本课程的任务： 讨论第Ⅱ步，即介绍计算机上的常用的数值方法 * 实际问题 数学模型 (数值)算法 编程 计算结果 抽象：“去伪存真，去粗取精” (Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ) * 总体设计(含模型的细化等) 详细设计(主要是算法设计) 实验验证 其中Ⅱ包括： 连续系统的离散化 离散型方程的数值求解 以计算机为工具 求解各种数学模型需经历三个过程 * 计算方法 主要研究将数学模型变成数值问题, 并研究求解数值问题的数值方法，进而设计数值算法。 内容包括: 基本概念介绍；误差及分析；收敛性、稳定性；算法复杂性等 * 计算数学的对象 计算数学是一门古老的数学 如计算圆周率、《九章计算》等； 牛顿、莱布尼兹等提出的微分、积分计算； 计算数学是一门年轻的数学 近代计算机的诞生，产生了数学的计算机计算. 计算机与数学的关系非常密切 计算数学：计算机上的数学方法。 或定义为：研究数值计算方法的设计、分析和有关理论基础与软件实现的一个数学分支。 计算数学：《计算方法