数列复习提纲带答案.docx

数列复习提纲知识网络要点归纳一．数列的概念及表示方法(1)定义：按照一定顺序排列着的一列数．(2)表示方法：列表法、图象法、通项公式法和递推公式法．(3)分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为递增数列、递减数列、摆动数列和常数列．二．求数列通项 1． 由Sn与an的关系求an（或Sn）已知数列{an}的前n项和Sn，则an＝注意：一定不要忘记对n取值的讨论！最后，还应检验当n=1的情况是否符合当n2的关系式，从而决定能否将其合并。2．由数列的递推关系求通项公式已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解.(1)当出现an＝an－1＋f(n)时，用累加法求解；(2)当出现＝f(n)时，用累乘法求解；(3)当出现an＋1＝pan＋q时，将an＋1＝pan＋q的递推关系式可以化为(an＋1＋t)＝p(an＋t)的形式，构成新的等比数列，其中t＝.三．等差数列、等比数列的判断方法(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)?{an}是等差数列；＝q(q为常数，q≠0)?{an}是等比数列．(2)中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2?{an}是等差数列；a＝an·an＋2(an≠0)?{an}是等比数列．3)通项公式法：（a,b为常数）为等差数列；an＝c·qn(c，q为非零常数)?{an}是等比数列．(4)前n项和公式法：（A,B为常数）为等差数列。；Sn＝aqn－a(a，q为常数，且a≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)?{an}是等比数列．后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列，主要适合在选择题中简单判断.四．等差数列、等比数列的性质1．等差数列的有关性质已知数列{an}是等差数列，Sn是{an}的前n项和.(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N+)，则有am＋an＝ap＋aq.(2)等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N+)是公差为md的等差数列.(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.(5)当项数为偶数时，则；；.当项数为奇数时，；；S奇－S偶＝a中(中间项).。2．等比数列的性质已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，则有ak·al＝am·an.(2)等比数列{an}的单调性：当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，数列{an}是递增数列；当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，数列{an}是递减数列；当q＝1时，数列{an}是常数列.(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.(4)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列.(5)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.五．求数列的前n项和的基本方法(1)公式法：利用等差数列或等比数列前n项和Sn公式；(2)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．(3)裂项(相消)法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．常见的裂项公式①＝－.②＝.③＝－.(4)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．(5)倒序相加：例如，等差数列前n项和公式的推导．(6)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解.例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.题型一　方程的思想解数列问题在等差数列和等比数列中，通项公式an和前n项和公式Sn共涉及五个量：a1，an，n，d(或q)，Sn，其中首项a1和公差d(或公比q)为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，an，n，d(或q)，Sn的方程组，通过方程的思想解出需要的量．例1设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝21，S15＝－75，Tn为数列{}的前n项和，求Tn的最大值．解　设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋n(n－1)d.∵S7＝21，S15＝－75，∴即解得a1＝9，d＝－2.∴Sn＝na1＋d＝9n－(n2－n)＝10n－n2.则＝10－n.∵－＝－1，∴数列{}是以9为首项，公差为－1的等差数列．Tn＝＝－n2＋n＝(n－)2＋.∵n∈N*，∴当n＝9，或n＝1