数列的差分与高阶等差数列.ppt

中学数学研究·代数 数列的差分与高阶等差数列 《普通高中数学课程标准》课程框架 数列与差分 随着信息技术的日益普及和发展，离散数学的应用越来越广泛。差分和差分方程是描述离散变量变化的重要工具，在理论上是十分重要的，并且有广泛的应用。 本专题初步研究数列的差分和简单的差分方程，使学生掌握一些用离散变量分析解决问题的方法。 内容与要求 中世纪的中国数学 中世纪的中国数学经历了三次发展高潮： 两汉时期 魏晋南北朝时期 宋元时期 最早研究高阶等差数列并创造“逐差法——中国 1.数列的差分 定义 对于数列 ，称 为 的一阶差数列。并称 为 的一阶差分（简称差分）； 的一阶差分 叫做的二阶差分；一般地，设m是任一正整数，则称 为 的m阶差分。 1.数列的差分课堂练习 求下列数列的差分 ①数列 1，1，1，1，1，1，…… 一阶差分：0，0，0，0，0， …… ②数列 1，2，3，4，5，6， …… 一阶差分：1，1，1，1，1， …… 二阶差分： 0，0，0，0， …… 1.数列的差分课堂练习 ③数列： 即 1，4，9，16，25，36， …… 一阶差分：3，5，7，9，11， …… 二阶差分： 2，2，2，2， …… 三阶差分： 0，0，0， …… 1.数列的差分课堂练习 ④数列： 即 1，2，4，8，16，32， …… 一阶差分：1，2，4，8，16， …… 二阶差分： 1，2，4，8， …… 三阶差分： 1，2，4 …… 1.数列的差分 定理 对于数列 ， ，有 ⑴ ⑵ ，这里 为常数 ⑶ 或 ⑷ 1.数列的差分 证明：⑴、⑵、⑶直接应用差分定义即可； ⑷由⑶，有 于是 1.数列的差分例 题 例1 求数列 的前n项和 解法一 等比数列的求和公式： 1.数列的差分例 题 解法二 1.数列的差分例 题 解法三 因为 所以 1.数列的差分例 题 例2 求和 解法一 1.数列的差分例 题 解法二 见课本P143 1.数列的差分例 题 解法三 见课本P144 二、高阶等差数列 定义 对于数列 ，若有正整数m，使 是非零常数列，则称 为m阶等差数列。当 时，m阶等差数列统称为高阶等差数列。 常数列叫做零阶等差数列。 例如 *中学数学研究·代数 *中学数学研究·代数 数学1 数学5 数学4 数学3 数学2 必修 模块 选修1-1 选修1-2 选修 系列 选修2-1 选修2-2 选修2-3 选修3-5 选修3-2 选修3-3 选修3-4 选修3-1 选修3-6 选修4-1 选修4-2 选修4-3 选修4-4 4-10 …… 早在北宋时期，数学家沈括就创立了与高阶等差数列 有关的“隙积术”； 南宋末期数学家杨辉亦研究了高阶等差数列，并提出了 “垛积术”； 到了元朝，优秀的天文学家和数学家郭守敬在以他为 主编著的《授时历》中，就用高阶等差数方面的知识， 来解决天文计算中的高次招差问题。 朱世杰则在其所着的《四元玉鉴》一书中，把中国宋、元数学家 在高阶等差级数求和方面的工作更向前推进了一步，对这一类问题 得出了一系列重要的求和公式，其中最突出的是他创造了“招差法” （即“逐差法”），在世界数学史上第一次包括有四次差的招差公式。 在欧洲，首先对招差术加以说明的是格列高里（1670），在牛顿的 著作中（1676－1684）方才出现了招差术的普遍公式，朱世杰比 他们约早了四百年。 * * *中学数学研究·代数